Matematyka.pl

Witam. Jakie ciągi mniejsze/większe można dopasować do tych ciągów?

1) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n^{2} + \sin2n} + \frac{4}{n^{2} + \sin2n} + ... + \frac{2n}{n^{2} + \sin2n}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1^{4} + 2^{4} + ... + n^{4}}{1^{4} + 2^{4} + ... + (n + 1)^{4}}}\)

1)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n^{2} + \sin2n} + \frac{4}{n^{2} + \sin2n} + ... + \frac{2n}{n^{2} + \sin2n}=\\=\lim_{n \to \infty }\frac{2(1+2+..+n)}{n^{2} + \sin2n} =\lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + 1} \le \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n} \le \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} -1}\\
1 \le \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n} \le 1\\
\lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n}=1}\)



2)
Oszacowanie z góry to np: pominięcie ostatniego składnika w mianowniku. Daje granicę równą 1.
Nie mam pomysłu na oszacowanie z dołu.

Zadanie szybko można rozwiązać stosując wzorek:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^4= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}\)