Granica ciągu z tw. o trzech ciągach.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Granica ciągu z tw. o trzech ciągach.

Post autor: Big_Boss1997 » 24 sty 2019, o 18:27

Witam. Jakie ciągi mniejsze/większe można dopasować do tych ciągów?

1) \(\lim_{n \to \infty } \frac{2}{n^{2} + \sin2n} + \frac{4}{n^{2} + \sin2n} + ... + \frac{2n}{n^{2} + \sin2n}\)

2) \(\lim_{n \to \infty } \frac{1^{4} + 2^{4} + ... + n^{4}}{1^{4} + 2^{4} + ... + (n + 1)^{4}}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Granica ciągu z tw. o trzech ciągach.

Post autor: kerajs » 24 sty 2019, o 19:45

1)
\(\lim_{n \to \infty } \frac{2}{n^{2} + \sin2n} + \frac{4}{n^{2} + \sin2n} + ... + \frac{2n}{n^{2} + \sin2n}=\\=\lim_{n \to \infty }\frac{2(1+2+..+n)}{n^{2} + \sin2n} =\lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n}\)

\(\lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + 1} \le \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n} \le \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} -1}\\ 1 \le \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n} \le 1\\ \lim_{n \to \infty }\frac{n(n+1)}{n^{2} + \sin2n}=1\)



2)
Oszacowanie z góry to np: pominięcie ostatniego składnika w mianowniku. Daje granicę równą 1.
Nie mam pomysłu na oszacowanie z dołu.

Zadanie szybko można rozwiązać stosując wzorek:
\(\sum_{i=1}^{n}i^4= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\)

ODPOWIEDZ