Matematyka.pl

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t.}\)

\(\displaystyle{ t=e^z}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{dz}=e^z=t}\)

\(\displaystyle{ t \frac{dy}{dt}=t \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt}=t \frac{dy}{dz}t^{-1}= \frac{dy}{dz}}\)

\(\displaystyle{ t^2y''=t^2 \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dt} \right)=t^2 \frac{dz}{dt} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt} \right)=}\)

\(\displaystyle{ =t^2 \frac{1}{t} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \cdot \frac{1}{t} \right)=e^z \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=e^z\left( \frac{d^2y}{dz^2}e^{-z}- \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=}\)

\(\displaystyle{ \frac{d^2y}{dz^2}- \frac{dy}{dz}}\)

po podstawieniu do wyjściowego masz:

\(\displaystyle{ y''-y'+y'=4y+10e^z}\)

\(\displaystyle{ y''-4y=10e^z}\)

fluffiq pisze:\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t}\)

\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 0}\)
\(\displaystyle{ y=t^r\\
t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\
r(r-1)+r-4=0\\
(r-2)(r+2)=0\\
y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}}\)

kerajs pisze:

fluffiq pisze:\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t}\)

\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 0}\)
\(\displaystyle{ y=t^r\\
t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\
r(r-1)+r-4=0\\
(r-2)(r+2)=0\\
y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}}\)

I to by byłoby na tyle? Czy jeszcze coś trzeba tu policzyć?

Po uzmiennieniu mamy:

\(\displaystyle{ y=C_{1}(z)e^{-2z}+C_{2}(z)e^{2z}}\)

\(\displaystyle{ W=4}\)

\(\displaystyle{ C_{1}(z)=- \frac{5}{6}e^{3z}+A}\)

\(\displaystyle{ C_{2}(z)=- \frac{5}{2}e^{-z}+B}\)

po przejściu do starych zmiennych mamy:

\(\displaystyle{ y=- \frac{10}{3}t+At^{-2}+Bt^2}\)

Podstawienie Arka jest wygodne w użyciu bo nie trzeba zgadywać rozwiązania
gdy pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone lub gdy się powtarzają