Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: fluffiq » 26 gru 2018, o 18:05

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

\(t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t.\)
Ostatnio zmieniony 23 sty 2019, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: arek1357 » 26 gru 2018, o 19:33

\(t=e^z\)

\(\frac{dt}{dz}=e^z=t\)

\(t \frac{dy}{dt}=t \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt}=t \frac{dy}{dz}t^{-1}= \frac{dy}{dz}\)

\(t^2y''=t^2 \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dt} \right)=t^2 \frac{dz}{dt} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt} \right)=\)

\(=t^2 \frac{1}{t} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \cdot \frac{1}{t} \right)=e^z \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=e^z\left( \frac{d^2y}{dz^2}e^{-z}- \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=\)

\(\frac{d^2y}{dz^2}- \frac{dy}{dz}\)

po podstawieniu do wyjściowego masz:

\(y''-y'+y'=4y+10e^z\)

\(y''-4y=10e^z\)
Ostatnio zmieniony 26 gru 2018, o 20:06 przez arek1357, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: kerajs » 26 gru 2018, o 19:53

fluffiq pisze:\(t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t\)
\(t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t\)
\(t^{2}y'' + ty' - 4y = 0\)
\(y=t^r\\ t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\ r(r-1)+r-4=0\\ (r-2)(r+2)=0\\ y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}\)

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: fluffiq » 26 gru 2018, o 20:25

kerajs pisze:
fluffiq pisze:\(t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t\)
\(t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t\)
\(t^{2}y'' + ty' - 4y = 0\)
\(y=t^r\\ t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\ r(r-1)+r-4=0\\ (r-2)(r+2)=0\\ y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}\)
I to by byłoby na tyle? Czy jeszcze coś trzeba tu policzyć?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: arek1357 » 26 gru 2018, o 20:43

Po uzmiennieniu mamy:

\(y=C_{1}(z)e^{-2z}+C_{2}(z)e^{2z}\)

\(W=4\)

\(C_{1}(z)=- \frac{5}{6}e^{3z}+A\)

\(C_{2}(z)=- \frac{5}{2}e^{-z}+B\)

po przejściu do starych zmiennych mamy:

\(y=- \frac{10}{3}t+At^{-2}+Bt^2\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: mariuszm » 23 sty 2019, o 14:34

Podstawienie Arka jest wygodne w użyciu bo nie trzeba zgadywać rozwiązania
gdy pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone lub gdy się powtarzają

ODPOWIEDZ