Matematyka.pl

Mam takie zadanie :
Zbadać parzystość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x \cdot \frac{4^x + 1}{1-4^x}}\)

Próbowałem to rozwiązać i utknąłem na tym i nie wiem co dalej :
\(\displaystyle{ f(-x) = -\sin x \cdot \frac{4^{-x}+1}{1-4^{-x}} = -\sin x \cdot \frac{(1+4^{-x})(1+4^{-x})}{(1-4^{-x})(1+4^{-x})} = -\sin x \cdot \frac{1+2 \cdot 4^{-x}+(4^{-x})^2}{1-(4^{-x})^2} = -\sin x \cdot \frac{1+2^1 \cdot 2^{-2x}+4^{-2x}}{1-4^{-2x}} = -\sin x \cdot \frac{1+2^{1-2x}+4^{-2x}}{1-4^{-2x}}}\)

Harry_123 pisze:Mam takie zadanie :
Zbadać parzystość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x \cdot \frac{4^x + 1}{1-4^x}}\)

Próbowałem to rozwiązać i utknąłem na tym i nie wiem co dalej :
\(\displaystyle{ f(-x) = -\sin x \cdot \frac{4^{-x}+1}{1-4^{-x}} = \red -\sin x \cdot \frac{(1+4^{-x})(1+4^{-x})}{(1-4^{-x})(1+4^{-x})}}\)

Ło matko! A to czerwone to po co?

JK

Funkcja \(\displaystyle{ \sin x}\) jest nieparzysta. Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{4^x+1}{1-4^x}}\) jest nieparzysta, wówczas iloczyn dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją parzystą.

Dla ustalenia uwagi: \(\displaystyle{ 4^{-x}=\frac{1}{4^x}}\).

JK

Jan Kraszewski pisze:Dla ustalenia uwagi: \(\displaystyle{ 4^{-x}=\frac{1}{4^x}}\).

JK

Do czegoś takiego mam to doprowadzić? :
\(\displaystyle{ f(-x) = -\sin x \cdot \frac{4^{-x}+1}{1-4^{-x}} = -\sin x \cdot \frac{\frac{1}{4^{x}}+1}{1-\frac{1}{4^{x}}} = -\sin x \cdot \frac{\frac{1}{4^x}+1}{1} \cdot -\frac{4^x}{1}}\)

Harry_123 pisze:\(\displaystyle{ -\sin x \cdot \frac{\frac{1}{4^{x}}+1}{1-\frac{1}{4^{x}}} = -\sin x \cdot \frac{\frac{1}{4^x}+1}{1} \cdot -\frac{4^x}{1}}\)

Auu! To boli...

Jeżeli uważasz, że

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{4^{x}}+1}{1-\frac{1}{4^{x}}} = \frac{\frac{1}{4^x}+1}{1} \cdot -\frac{4^x}{1}}\)

to znaczy, że Twoja sprawność w przekształceniach algebraicznych jest niestety bardzo niska. Sugeruję intensywne ćwiczenia, bo przekształcając w ten sposób będziesz w stanie położyć każde rozwiązanie, nawet jeśli będziesz wiedział, co należy robić.

Poprawnie:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{4^{x}}+1}{1-\frac{1}{4^{x}}} = \frac{\frac{1+4^x}{4^{x}}}{\frac{4^x-1}{4^{x}}} = \frac{1+4^x}{4^x-1}.}\)

JK

Jan Kraszewski pisze:Poprawnie:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{4^{x}}+1}{1-\frac{1}{4^{x}}} = \frac{\frac{1+4^x}{4^{x}}}{\frac{4^x-1}{4^{x}}} = \frac{1+4^x}{4^x-1}.}\)

JK

W jaki sposób doprowadziłeś do wspólnego mianownika \(\displaystyle{ 4^x}\) ?

Pytasz się, dlaczego

\(\displaystyle{ \frac{1}{4^{x}}+1=\frac{1+4^x}{4^{x}}}\)

i

\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{4^{x}} = \frac{4^x-1}{4^{x}}}\) ?

JK

Znaczy chodzi o to,że zamieniamy \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ \frac{4^x}{4^x}}\) i wykonujemy dodawanie/odejmowanie?

Tak, na tym polega operacja nazywana "sprowadzanie do wspólnego mianownika".

JK

Czyli w zasadzie mam coś takiego:
\(\displaystyle{ f(-x) = -\sin x \cdot \frac{4^x+1}{4^x-1}}\) i w zasadzie to nie równa się \(\displaystyle{ f(x)=\sin x \cdot \frac{4^x+1}{1-4^x}}\) więc co mam dalej zrobić?

Harry_123 pisze:Czyli w zasadzie mam coś takiego:
\(\displaystyle{ f(-x) = -\sin x \cdot \frac{4^x+1}{4^x-1}}\) i w zasadzie to nie równa się \(\displaystyle{ f(x)=\sin x \cdot \frac{4^x+1}{1-4^x}}\) więc co mam dalej zrobić?

Patrzeć się długo i zawzięcie na to, co napisałeś do momentu aż zrozumiesz, że jednak

\(\displaystyle{ f(-x) = -\sin x \cdot \frac{4^x+1}{4^x-1}=\sin x \cdot \frac{4^x+1}{1-4^x}=f(x).}\)

JK

Hmm,wydaje mi się, że może być tak dlatego,że :

\(\displaystyle{ -\sin x\cdot \frac{4^x+1}{4^x-1} = \frac{-1((4^x+1)\sin x)}{-1(1-4^x)} = \frac{4^x+1 \cdot \sin x}{1-4^x}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{-1} \cdot \frac{4^x+1}{-1+4^x} = \frac{4^x+1 \cdot \sin x}{1-4^x}}\)

Rzuć to. Wróć do elementarnych przekształceń algebraicznych, a dopiero potem zabierz się za inne rzeczy.

A więc dobrze zrozumiałem czy źle?