Matematyka.pl

Umieściłem to zadanie w Indukcji, jako że domyślam że domysłem autora było udowodnić je w ten sposób. (chociaż tak szczerze nie mam bladego pojęcia jak)
Zadanie jest następujące
Niech \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Wykazać jeśli \(\displaystyle{ a _{1}< a_{2}<...<a_{n} , b_{1}<b_{2}<...<b_{n}}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ (b'_{1}, ... , b'_{n})}\) rożni się jedynie kolejnością to

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} > \sum_{k=1}^{n} a_{k}b'_{k}.}\)

Próbowałem rozważać podzbiór, który wartości \(\displaystyle{ ( b^{'}_{n})}\), który nie został spermutowany
w najprostszym przypadku, czyli kiedy tylko dwa elementy zostały zamienione jednak mi nic konkretnego mi nie wychodziło. (Konkretniej wychodziła mi nierówność, która nic nie mówi o prawdziwości tezy)
Zastawiałem się czy nie można rozwiązać z tego indukcji ale nie doszedłem do żadnych wniosków, także zamieszczam temat tutaj.

Adam

Powinno pójść analogicznie.

Żeby było smiesznie, do rozwiązania tego zadanie nie potrzeba matematyki, wystarczy zwykły "chłopski rozum"

Wyobraźmy sobie jaskinię zbójców, a w niej worki z monetami. W pierwszym worku monety o nominale \(\displaystyle{ a_1}\), w drugim \(\displaystyle{ a_2}\) itd.

Możesz brać monety z dowolnych worków, ale wolno Ci wziąć \(\displaystyle{ b_1}\) monet z pewnego worka, \(\displaystyle{ b_2}\) z innego itd.

Jak będziesz wybierać, żeby się maksymalnie obłowić? Jasne, że trzeba wziąć najwięcej z "najbogatszebo worka" ... a najmniej z tego, który zawiera najmniejsze monety.

a4karo pisze:Żeby było smiesznie, do rozwiązania tego zadanie nie potrzeba matematyki, wystarczy zwykły "chłopski rozum"

Wyobraźmy sobie jaskinię zbójców, a w niej worki z monetami. W pierwszym worku monety o nominale \(\displaystyle{ a_1}\), w drugim \(\displaystyle{ a_2}\) itd.

Możesz brać monety z dowolnych worków, ale wolno Ci wziąć \(\displaystyle{ b_1}\) monet z pewnego worka, \(\displaystyle{ b_2}\) z innego itd.

Jak będziesz wybierać, żeby się maksymalnie obłowić? Jasne, że trzeba wziąć najwięcej z "najbogatszebo worka" ... a najmniej z tego, który zawiera najmniejsze monety.

Dla mnie jasne było, że podane twierdzenie jest wręcz oczywiste, problemem dla mnie jest sformułowanie formalnego dowodu.

To zobacz co się stanie z iloczynem gdy będzie \(\displaystyle{ a_i<a_j}\) i \(\displaystyle{ b_i>b_j}\) i zamienisz \(\displaystyle{ b_i}\) z \(\displaystyle{ b_j}\) miejscami.