Udowodnić nierówność w ciągach

[Unforg1ven]

Umieściłem to zadanie w Indukcji, jako że domyślam że domysłem autora było udowodnić je w ten sposób. (chociaż tak szczerze nie mam bladego pojęcia jak)
Zadanie jest następujące
Niech \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Wykazać jeśli \(\displaystyle{ a _{1}< a_{2}<...<a_{n} , b_{1}<b_{2}<...<b_{n}}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ (b'_{1}, ... , b'_{n})}\) rożni się jedynie kolejnością to

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} > \sum_{k=1}^{n} a_{k}b'_{k}.}\)

Próbowałem rozważać podzbiór, który wartości \(\displaystyle{ ( b^{'}_{n})}\), który nie został spermutowany
w najprostszym przypadku, czyli kiedy tylko dwa elementy zostały zamienione jednak mi nic konkretnego mi nie wychodziło. (Konkretniej wychodziła mi nierówność, która nic nie mówi o prawdziwości tezy)
Zastawiałem się czy nie można rozwiązać z tego indukcji ale nie doszedłem do żadnych wniosków, także zamieszczam temat tutaj.

Adam

[Zahion]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_ci%C4%85gach_jednomonotonicznych

Powinno pójść analogicznie.

[a4karo]

Żeby było smiesznie, do rozwiązania tego zadanie nie potrzeba matematyki, wystarczy zwykły "chłopski rozum"

Wyobraźmy sobie jaskinię zbójców, a w niej worki z monetami. W pierwszym worku monety o nominale \(\displaystyle{ a_1}\), w drugim \(\displaystyle{ a_2}\) itd.

Możesz brać monety z dowolnych worków, ale wolno Ci wziąć \(\displaystyle{ b_1}\) monet z pewnego worka, \(\displaystyle{ b_2}\) z innego itd.

Jak będziesz wybierać, żeby się maksymalnie obłowić? Jasne, że trzeba wziąć najwięcej z "najbogatszebo worka" ... a najmniej z tego, który zawiera najmniejsze monety.

[Unforg1ven]

Żeby było smiesznie, do rozwiązania tego zadanie nie potrzeba matematyki, wystarczy zwykły "chłopski rozum"

Wyobraźmy sobie jaskinię zbójców, a w niej worki z monetami. W pierwszym worku monety o nominale \(\displaystyle{ a_1}\), w drugim \(\displaystyle{ a_2}\) itd.

Możesz brać monety z dowolnych worków, ale wolno Ci wziąć \(\displaystyle{ b_1}\) monet z pewnego worka, \(\displaystyle{ b_2}\) z innego itd.

Jak będziesz wybierać, żeby się maksymalnie obłowić? Jasne, że trzeba wziąć najwięcej z "najbogatszebo worka" ... a najmniej z tego, który zawiera najmniejsze monety.

Dla mnie jasne było, że podane twierdzenie jest wręcz oczywiste, problemem dla mnie jest sformułowanie formalnego dowodu.

[a4karo]

To zobacz co się stanie z iloczynem gdy będzie \(\displaystyle{ a_i<a_j}\) i \(\displaystyle{ b_i>b_j}\) i zamienisz \(\displaystyle{ b_i}\) z \(\displaystyle{ b_j}\) miejscami.