Matematyka.pl

Witam wszystkich.Od kilku dni na stronie są dostępne zadania z XII edycji Olimpiady "O diamentowy Indeks AGH".Jak oceniacie zadnia? Ciekawsze niż w poprzednich latach ?

Link do zadań: ... 8_2019.pdf

Ciekawe, szczególnie te za 10 punktów. Co do zadania piątego: czy tylko mi się wydaje, że jest błąd w treści zadania?

Tak zadania za 10 punktów ciekawe,ciekawsze od tych za 20.Nie potrafię odpowiedzieć czy jest błąd.Ja nie widzę.

Co do zadania 5, też mam wątpliwość, bo nie jest dopowiedziane czy liczby naturalne mamy przyjmować od 0 czy 1.

W 5 zadaniu 0 nie jest liczbą naturalną. Pytałem się organizatorów na wszelki wypadek.

1) Czy zadania można zredagować na komputerze i wydrukować?
2) "numer identyfikacyjny otrzymany w drodze elektronicznej rejestracji" to numer zgłoszenia?
3) "Prace przesłane w innej formie (np. luźne kartki, niepodpisane, bez formularza zgłoszenia, niezapakowane w koszulkę, bez oznaczenia kodem, innego formatu niż A4, przesłane dwa razy lub w częściach itp.) nie będą kwalifikowane do sprawdzenia.", o który kod chodzi?

Z góry dzięki za odpowiedzi

Jak udało wam się rozwiązać zadanie 5?

Właśnie tak średnio z tym zadaniem. Opisałem tylko metodę znajdowania takiego \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), które spełniają warunki zadania, podałem przykłady tych liczb oraz pokazałem, że te przykładowe \(\displaystyle{ p}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ p^2=a^2+b^2}\).

Odnośnie zadania 5, generalnie obliczasz pierwiastki tych równań, i interesuje Cię generalnie liczba pod pierwiastkiem, musi ona być naturalna, i masz jeżeli dobrze pamiętam z tego p^2 - 4q= a^2 oraz p^2 + 4q = b^2 ( no bo pier. Ten rowna sie jakies liczbie clakowitej a/b ( zaleznie od dodawania czy odejmowania), wiec podnisisz i masz dwa powyższe równania) Noi z tego masz 2p^2 = a^2+b^2
Możemy zrobić teraz taki myk, wiedzwc ze b>a :
b = (a+2k), gdzie k jest naturalne
Noi z tego podstawiasz pod b i wcześniejsze równanie i już po zadaniu, w impikacji wystarczy wskazać jeden przypadek który obaka twierdzenie

Równanie kwadratowe ma pierwiastki całkowite wtedy i tylko wtedy gdy delta jest kwadratem liczby całkowiej.

No to to jest akurat bzdura.

W obie strony implikacje mają określone warunki, które muszą spełniać...

PoweredDragon pisze:

Równanie kwadratowe ma pierwiastki całkowite wtedy i tylko wtedy gdy delta jest kwadratem liczby całkowiej.

No to to jest akurat bzdura.

W obie strony implikacje mają określone warunki, które muszą spełniać...

No tak racja, zapomniałem dodać o tym, że współczynniki muszą być całkowite (co jest oczywiście w treści zadania) i chciałem to zrobić w jedną tylko stronę: skoro współczynniki są naturalne (zatem też całkowite) i równania mają rozwiązania całkowite to delty obu równań są kwadratami liczb całkowitych (w przeciwnym wypadku we wzorze na rozwiązania równania kwadratowego mielibyśmy pod pierwiastkiem całkowitą liczbę która nie jest kwadratem, a co za tym idzie jest niewymierna, zatem rozwiązanie byłoby połową sumy liczby całkowitej i niewymiernej zatem nie byłoby wymierne). Potem wystarczy dodać wzory na delty stronami i skorzystać z tożsamości. Dlatego też oznaczyłem to jako idea, a nie pełne rozwiązanie (w szczególności nie myślałem nad przeciwną implikacją).

jak tam poszło? według mnie ten drugi etap był trochę trudniejszy od swoich poprzedników z poprzednich lat. jednak niektóre zadania np. 1,2,4 i 6 były przyjemne do rozwiązania

Moje odpowiedzi:
1 - \(\displaystyle{ 62,5 \%}\)
2 - \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = \frac {-\sqrt{21}}{5}}\)
3 - Nie zrobiłem
4 - Zrobiłem, ale źle, wyznaczyłem dobrze tylko dziedzinę \(\displaystyle{ x \in \RR - \left\{ -2, 3\right\}}\) i to, że nie istnieje wartość dla \(\displaystyle{ x=3}\), żeby funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) była w tym punkcie ciągła.
5 - \(\displaystyle{ r= \frac {a}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ H= \frac{\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}}{3}}\)
6 - \(\displaystyle{ m \in \left( \frac{6}{5}, 2 \right)}\)
7 - \(\displaystyle{ R=a \cdot \frac {3+\sqrt{3}}{12}}\) lub \(\displaystyle{ R=a \cdot \frac {9-5 \sqrt{3}}{12}}\), ale później sobie zdałem sprawę, że ten pierwszy jest wewnętrznie styczny, więc nie pasuje.

Minimum jakie mogę uzyskać, to \(\displaystyle{ 8+10+0+2+19+19+15 = 73}\), a maksimum to \(\displaystyle{ 10+10+0+5+20+20+18 = 83}\), więc powinienem się dostać. Przynajmniej teoretycznie. Ten konkurs ma to do siebie, że na niego jest za mało czasu, i mi troszkę zbrakło, myślę że gdybym miał jeszcze te pół godziny to bym zrobił trzecie.

A macie może zadania? Na stronie konkursu jeszcze chyba nie ma.