Matematyka.pl

Rozwiązać w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) równanie
\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{3}+x= y^{4}+3y^{2}+y.}\)

a)
\(\displaystyle{ x(x-1)(x^2-x-1)=y(y^3+3y+1) \wedge x,y \in \ZZ}\)
Prawą strona przyjmuje wartość 0 tylko dla \(\displaystyle{ y=0}\) stąd rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \vee \begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}}\)

b)
zał: \(\displaystyle{ y \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left[ x(x-1)\right]\left[ x(x-1)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2}\)
Po obu stronach równania jest iloczyn dwóch kolejnych dodatnich liczb naturalnych.
\(\displaystyle{ (p+1)p=q(q+1)+y-2}\)
1) zał: \(\displaystyle{ x(x-1)-1 =p=q=y^2+1}\)
\(\displaystyle{ \left[ y^2+1+1\right]\left[ y^2+1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2 \\
y=2}\)
co wstawiając do założenia daje kolejne rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases} \vee \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}}\)
2) zał: \(\displaystyle{ x(x-1) =p+1=q=y^2+1}\)
\(\displaystyle{ \left[ y^2+1\right]\left[ (y^2+1)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2 \\
y=0 \vee y= \frac{-1}{2}}\)
Wyliczone y-greki nie spełniają założenia
3) zał: \(\displaystyle{ x(x-1) -1=p=q+1=y^2+2}\)
\(\displaystyle{ \left[ y^2+3\right]\left[ (y^2+3)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2 \\
2y^2-y+6=0}\)
Uzyskane równanie nie ma rozwiązania.
4) skoro dla p,q różniących się o 1 wartość bezwzględna różnicy iloczynów \(\displaystyle{ \left|p(p+1)-q(q+1) \right|}\) przekracza \(\displaystyle{ \left| y-2\right|}\) (dla y-greków całkowitych i różnych od zera), to tym bardziej dla p,q różniących się o więcej niż 1 wartość bezwzględna różnicy iloczynów będzie większa od \(\displaystyle{ \left| y-2\right|}\), czyli nie będzie więcej rozwiązań.