[Równanie] Liczby całkowite

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś

[Równanie] Liczby całkowite

Post autor: albanczyk123456 » 23 sie 2018, o 22:29

Rozwiązać w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) równanie
\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{3}+x= y^{4}+3y^{2}+y.}\)

tomClon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 28 sie 2017, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL

Re: [Równanie] Liczby całkowite

Post autor: tomClon » 25 sie 2018, o 15:52


Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: [Równanie] Liczby całkowite

Post autor: kerajs » 26 sie 2018, o 18:05

a)
\(\displaystyle{ x(x-1)(x^2-x-1)=y(y^3+3y+1) \wedge x,y \in \ZZ}\)
Prawą strona przyjmuje wartość 0 tylko dla \(\displaystyle{ y=0}\) stąd rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \vee \begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}}\)

b)
zał: \(\displaystyle{ y \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left[ x(x-1)\right]\left[ x(x-1)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2}\)
Po obu stronach równania jest iloczyn dwóch kolejnych dodatnich liczb naturalnych.
\(\displaystyle{ (p+1)p=q(q+1)+y-2}\)
1) zał: \(\displaystyle{ x(x-1)-1 =p=q=y^2+1}\)
\(\displaystyle{ \left[ y^2+1+1\right]\left[ y^2+1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2 \\ y=2}\)
co wstawiając do założenia daje kolejne rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases} \vee \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}}\)
2) zał: \(\displaystyle{ x(x-1) =p+1=q=y^2+1}\)
\(\displaystyle{ \left[ y^2+1\right]\left[ (y^2+1)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2 \\ y=0 \vee y= \frac{-1}{2}}\)
Wyliczone y-greki nie spełniają założenia
3) zał: \(\displaystyle{ x(x-1) -1=p=q+1=y^2+2}\)
\(\displaystyle{ \left[ y^2+3\right]\left[ (y^2+3)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2 \\ 2y^2-y+6=0}\)
Uzyskane równanie nie ma rozwiązania.
4) skoro dla p,q różniących się o 1 wartość bezwzględna różnicy iloczynów \(\displaystyle{ \left|p(p+1)-q(q+1) \right|}\) przekracza \(\displaystyle{ \left| y-2\right|}\) (dla y-greków całkowitych i różnych od zera), to tym bardziej dla p,q różniących się o więcej niż 1 wartość bezwzględna różnicy iloczynów będzie większa od \(\displaystyle{ \left| y-2\right|}\), czyli nie będzie więcej rozwiązań.

ODPOWIEDZ