Matematyka.pl

Dla podanej liczby \(\displaystyle{ n}\) podaj największą taką liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ k}\), że liczba \(\displaystyle{ 360^{30}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^{k}}\).

\(\displaystyle{ n = 27}\)

\(\displaystyle{ 360^{30} = 3^{30} \cdot 120^{30} = 27^{10} \cdot 3^{30} \cdot 40^{30} = 27^{20} \cdot 40^{30}}\)

odp.: \(\displaystyle{ k = 20}\)

Jak będzie to zadanie wyglądać dla \(\displaystyle{ n=75}\) ?

Lepiej jest od razu rozłożyć \(\displaystyle{ 360^{30}}\) na czynniki pierwsze:

\(\displaystyle{ 360^{30}=2^{90}\cdot 3^{60}\cdot 5^{30}.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ 75=3\cdot 5^2}\), a w \(\displaystyle{ 360^{30}}\) jest tylko \(\displaystyle{ 30}\) piątek, więc \(\displaystyle{ k=15}\).

JK

Dla podanej liczby \(\displaystyle{ k}\) podaj największą taką liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ 360^{30}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^{k}}\).

\(\displaystyle{ k = 8}\)

Powyżej masz wszystkie informacje. Spróbuj sam rozwiązać to zadanie.

JK