Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos x ^ \sqrt{|\cos x| - 1}}\)

W 1. kolejności dałem założenie:
\(\displaystyle{ \cos x > 0}\) ( bo "\(\displaystyle{ a}\)" w funkcji wykładniczej jest \(\displaystyle{ > 0}\) )

Następnie założenie że cały pierwiastek jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) bo zawartość pod pierwiastkiem nie może być ujemna

z pierwszego wyszedł \(\displaystyle{ x\in \left( - \frac{ \pi }{2} +2k \pi ; \frac{ \pi }{2} +2k \pi \right)}\)
z drugiego \(\displaystyle{ x\in \left( 2k \pi ; \pi +2k \pi \right)}\)

Na czerwono to co mi wyszło ale poprawna odpowiedź to zbiór \(\displaystyle{ k \pi}\) gdzie k należy do \(\displaystyle{ C - \left\{0 \right\}}\)

Trocinek pisze:\(\displaystyle{ f(x) = cos x ^ \sqrt{|cos x| - 1}}\)

W 1. kolejności dałem założenie:
cos x > 0 ( bo "a" w funkcji wykładniczej jest > 0 )

Następnie założenie że cały pierwiastek jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) bo zawartość pod pierwiastkiem nie może być ujemna

(...)
z drugiego \(\displaystyle{ x_{e} ( 2k \pi ; \pi +2k \pi )}\)

Założenie jest ok, ale rozwiązanie drugiego jest do luftu. Przelicz to jeszcze raz.

Nie wiem co to za zapis, ale rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ \cos x = \pm 1}\)

To
\(\displaystyle{ x \in \left\{ ..., -2 \pi, - \pi, 0, \pi, 2 \pi, ... \right\}}\)
lub bardziej poprawnie

\(\displaystyle{ x = k \pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in Z}\)

Nie rozumiem z jakiego powodu \(\displaystyle{ x = 0}\) nie należy niby do dziedziny. Przecież jak najbardziej spełnia wszystkie warunki?

Czy nie powinno być tak, że najpierw rozpatrzymy wykładnik, a potem dopiero podstawę w tej sytuacji? Przecież dziedziną funkcji \(\displaystyle{ \left| x\right| ^x}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb R \setminus \left\{ 0\right\}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy wyrażenie \(\displaystyle{ 0^0}\), któe nie ma sensu. Z tego powodu zero należy wykluczyć z dziedziny

Notacja jest faktycznie kulawa, ale pracując ze studentami uczelni technicznej nie na takie "pomysły" przymyka się oko.

Gorzej, że autor podał kawałek rozwiązanie, ale nie podał całości, oraz wykresu funkcji. Gorąco zachęcam.


@Trocinek: jak zastosujesz poprawny zapis, to zobaczysz, że \(\displaystyle{ x\in\{2k\pi: k\in\ZZ\}\cup\{\pi+2k\pi: k\in \ZZ\}}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ x\in (2k\pi;\pi+2k\pi)}\)

a4karo pisze:@Trocinek: jak zastosujesz poprawny zapis, to zobaczysz, że \(\displaystyle{ x\in \left\{ 2k\pi: k\in\ZZ \right\} \cup \left\{ \pi+2k\pi: k\in ZZ \right\}}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ x\in \left( 2k\pi;\pi+2k\pi \right)}\)

Oczywiście, że nie to samo, źle zapisałem w pierwszym poście.

Tylko, że rozkładając \(\displaystyle{ |\cos x| \ge 1}\) otrzymuję \(\displaystyle{ -1 \ge \cos x \ge 1}\) czyli dwie nierówności \(\displaystyle{ -1 \ge \cos x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x \ge 1}\). Z tego mam wziąć część wspólną której nie ma.

Z \(\displaystyle{ \cos > 0}\) zaznaczyłbym przedział \(\displaystyle{ x\in \left( - \frac{ \pi }{2} + k \pi \right) ; \left( \frac{ \pi }{2} + k \pi \right)}\)

Jako że w \(\displaystyle{ |\cos x| - 1 \ge 0}\) nie widzę części wspólnej nie mogę sumować obu przedziałów

Trocinek pisze:
Tylko, że rozkładając \(\displaystyle{ |\cos x| \ge 1}\) otrzymuję \(\displaystyle{ -1 \ge \cos x \ge 1}\)

Nie: otrzymujesz \(\displaystyle{ \cos x\geq 1}\) LUB \(\displaystyle{ \cos x\leq -1}\) a to coś zupełnie innego

I nie pisz x_{e} lecz x\in (jest taki symbol na palecie po lewej stronie)

a4karo pisze: 17 cze 2018, o 09:17 Dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy wyrażenie \(\displaystyle{ 0^0}\), któe nie ma sensu. Z tego powodu zero należy wykluczyć z dziedziny.

Dlaczego dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy wyrażenie \(\displaystyle{ 0^0}\), a nie \(\displaystyle{ 1^0}\), skoro \(\displaystyle{ \cos 0 = 1}\)?

DamianSc pisze: 24 lut 2020, o 11:58

a4karo pisze: 17 cze 2018, o 09:17 Dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy wyrażenie \(\displaystyle{ 0^0}\), któe nie ma sensu. Z tego powodu zero należy wykluczyć z dziedziny.

Dlaczego dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy wyrażenie \(\displaystyle{ 0^0}\), a nie \(\displaystyle{ 1^0}\), skoro \(\displaystyle{ cos 0 = 1}\)?

Prawdopodobnie dlatego, że tam jest \(\displaystyle{ \cos( x^{\text{cośtam}} ) }\), a nie \(\displaystyle{ (\cos x)^{\text{cośtam}} }\); dokładnie ten sam błąd popełniłem; kwestia przyzwyczajenia do notacji (która jest straszna w tym wydaniu IMO :/)

Wykres funkcji

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos x ^ \sqrt{|\cos x| - 1}}\)

rozumianej jako \(\displaystyle{ \cos( x^{\text{cośtam}} ) }\) jest, praktycznie rzecz biorąc, nie do naszkicowania,

zaś rozumianej jako \(\displaystyle{ (\cos x)^{\text{cośtam}}}\) owszem, można naszkicować.

Tak się wymądrzam, bo narysowałem obydwa przypadki w programie Graph do pobrania z

A jaką masz dziedzinę tej pierwszej ? (o czym już w zasadzie było)

piasek101 pisze: 11 mar 2020, o 21:55 A jaką masz dziedzinę tej pierwszej ? (o czym już w zasadzie było)

Masz rację, dziękuję. Rąbnąłem się przy korzystaniu z Grapha. Odszczekuję moją poprzednią wypowiedź.