Matematyka.pl

\(\displaystyle{ L ^{-1}{ \frac{s}{(s+10)^2}} = \frac{1}{s+10} - \frac{1}{(s+10)^2} = e ^{-10t}- te ^{-10t}}\)

Czy to jest w miare ok zrobione?

W jaki sposób się to rozkłada?

1) sztuczką:
\(\displaystyle{ \frac{s}{(s+10)^2} = \frac{s+10-10}{(s+10)^2}= \frac{s+10}{(s+10)^2}+ \frac{-10}{(s+10)^2}=
\frac{1}{s+10}- \frac{10}{(s+10)^2}}\)

2) klasycznie:
\(\displaystyle{ \frac{s}{(s+10)^2} =\frac{A}{s+10}+ \frac{B}{(s+10)^2}}\)
obustronnie mnożę przez \(\displaystyle{ (s+10)^2}\)
\(\displaystyle{ s=A(s+10)+B}\)

a) przez porównanie wielomianów w mianowniku:
\(\displaystyle{ s=As+10A+B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=1 \\ 10A+B=0 \end{cases} \\ \begin{cases} A=1 \\ B=-10 \end{cases}}\)
b) przez wstawianie wybranych wartości s:
\(\displaystyle{ s=-10 \rightarrow -10=A \cdot 0+B\\
s=0 \rightarrow 0=10A+B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} B=-10 \\ 10A+B=0 \end{cases} \\ \begin{cases} B=-10 \\ A=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2} = \frac{A}{0,1s+1} + \frac{B}{(0,1s+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A(0,1s+1)+B}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A0,1s+A+B}\)

\(\displaystyle{ A = 10}\)

\(\displaystyle{ B = -9}\)

\(\displaystyle{ \frac{100}{s+10}- \frac{10}{(s+10)^2}}\)
\(\displaystyle{ g(t) = 100e ^{-10t} - 90te ^{-10t}}\)

Czy to wygląda w miarę ok?

Dzonzi pisze:\(\displaystyle{ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2} = \frac{A}{0,1s+1} + \frac{B}{(0,1s+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A(0,1s+1)+B}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A0,1s+A+B}\)

\(\displaystyle{ A = 10}\)

\(\displaystyle{ B = -9}\)

To jest OK.

Dzonzi pisze: \(\displaystyle{ \frac{100}{s+10}- \frac{10}{(s+10)^2}}\)
\(\displaystyle{ g(t) = 100e ^{-10t} - 90te ^{-10t}}\)

ale tu niestety nie, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2} = \frac{10}{0,1s+1} + \frac{-9}{(0,1s+1)^2}=\frac{100}{s+10}- \frac{900}{(s+10)^2}}\)
\(\displaystyle{ L^{-1}\left[ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2}\right] =100e ^{-10t} - 900te ^{-10t}}\)