Odwrotna transformata Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: Dzonzi » 27 maja 2018, o 11:37

\(\displaystyle{ L ^{-1}{ \frac{s}{(s+10)^2}} = \frac{1}{s+10} - \frac{1}{(s+10)^2} = e ^{-10t}- te ^{-10t}}\)

Czy to jest w miare ok zrobione?
Ostatnio zmieniony 29 maja 2018, o 17:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stawiaj apostrof we właściwym miejscu.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: kerajs » 27 maja 2018, o 11:42

\(\displaystyle{ L ^{-1}\left[ \frac{s}{(s+10)^2} \right] =L^{-1} \left[ \frac{1}{s+10} - \frac{10}{(s+10)^2} \right] = e ^{-10t}- 10te ^{-10t}}\)

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: Dzonzi » 27 maja 2018, o 11:58

W jaki sposób się to rozkłada?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: kerajs » 27 maja 2018, o 12:11

1) sztuczką:
\(\displaystyle{ \frac{s}{(s+10)^2} = \frac{s+10-10}{(s+10)^2}= \frac{s+10}{(s+10)^2}+ \frac{-10}{(s+10)^2}= \frac{1}{s+10}- \frac{10}{(s+10)^2}}\)

2) klasycznie:
\(\displaystyle{ \frac{s}{(s+10)^2} =\frac{A}{s+10}+ \frac{B}{(s+10)^2}}\)
obustronnie mnożę przez \(\displaystyle{ (s+10)^2}\)
\(\displaystyle{ s=A(s+10)+B}\)

a) przez porównanie wielomianów w mianowniku:
\(\displaystyle{ s=As+10A+B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=1 \\ 10A+B=0 \end{cases} \\ \begin{cases} A=1 \\ B=-10 \end{cases}}\)
b) przez wstawianie wybranych wartości s:
\(\displaystyle{ s=-10 \rightarrow -10=A \cdot 0+B\\ s=0 \rightarrow 0=10A+B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} B=-10 \\ 10A+B=0 \end{cases} \\ \begin{cases} B=-10 \\ A=1\end{cases}}\)

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: Dzonzi » 29 maja 2018, o 16:21

\(\displaystyle{ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2} = \frac{A}{0,1s+1} + \frac{B}{(0,1s+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A(0,1s+1)+B}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A0,1s+A+B}\)

\(\displaystyle{ A = 10}\)

\(\displaystyle{ B = -9}\)

\(\displaystyle{ \frac{100}{s+10}- \frac{10}{(s+10)^2}}\)
\(\displaystyle{ g(t) = 100e ^{-10t} - 90te ^{-10t}}\)

Czy to wygląda w miarę ok?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: kerajs » 29 maja 2018, o 16:43

Dzonzi pisze:\(\displaystyle{ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2} = \frac{A}{0,1s+1} + \frac{B}{(0,1s+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A(0,1s+1)+B}\)
\(\displaystyle{ s+1 = A0,1s+A+B}\)

\(\displaystyle{ A = 10}\)

\(\displaystyle{ B = -9}\)
To jest OK.
Dzonzi pisze: \(\displaystyle{ \frac{100}{s+10}- \frac{10}{(s+10)^2}}\)
\(\displaystyle{ g(t) = 100e ^{-10t} - 90te ^{-10t}}\)
ale tu niestety nie, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2} = \frac{10}{0,1s+1} + \frac{-9}{(0,1s+1)^2}=\frac{100}{s+10}- \frac{900}{(s+10)^2}}\)
\(\displaystyle{ L^{-1}\left[ \frac{s+1}{(0,1s+1)^2}\right] =100e ^{-10t} - 900te ^{-10t}}\)

ODPOWIEDZ