Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \QQ=\left\{ w_1,w_2,w_3,...\right\}}\) to zbiór liczb wymiernych jakoś ponumerowany. \(\displaystyle{ P_m:= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(w_n -\frac{1}{m2^n},w_n+\frac{1}{m2^n}\right)}\). Uzasadnić ściśle, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty}P_m}\) jest miary zero.

Czy ten zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty}P_m}\) to nie będzie po prostu zbiór liczb wymiernych?

Poprzednia wersja:
\(\displaystyle{ P_m:= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{w_n -1}{m2^n},\frac{w_n+1}{m2^n}\right)}\).
JK

\(\displaystyle{ \mu(\bigcap_{m=1}^{\infty}P_m) \leq \mu(P_m) \leq \sum_{n=1}^\infty 1/(m2^{n-1})= 1/m}\)
Jest tak dla każdego \(\displaystyle{ m}\), więc \(\displaystyle{ \mu(\bigcap_{m=1}^{\infty}P_m) = 0}\)

Skąd jest nierówność:
\(\displaystyle{ \mu(P_m) \leq \sum_{n=1}^\infty 1/(m2^{n-1})}\)
?

Niech \(\displaystyle{ p_{m,n}}\) oznacza odcinek \(\displaystyle{ \Bigl(\frac{w_{n}-1}{m2^{n}},\frac{w_{n}+1}{m2^{n}}\Bigr)}\), wtedy
\(\displaystyle{ \mu(p_{m,n})=\frac{(w_{n}+1)-(w_{n}-1)}{m2^{n}}=\frac{1}{m2^{n-1}}}\)
Z uwagi na definicję \(\displaystyle{ P_{m}}\) zachodzi zależność
\(\displaystyle{ \mu(P_{m})\leq \sum_{n=1}^{\infty}\mu(p_{m,n})=\frac{2}{m}}\)
Z uwagi na zakres sumowania szeregu, wynikiem na końcu powinno być \(\displaystyle{ \frac{2}{m}}\), ale nie zmienia to w ogóle rozumowania przedstawionego w poprzednim rozwiązaniu.

Ach J.Kraszewski mnie poprawił, ale poprawił źle. Powinno być: \(\displaystyle{ P_m:= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left( w_n-\frac {1}{m2^n},w_n+\frac{1}{m2^n}\right)}\). To coś zmienia?

Nie, bo \(\displaystyle{ \mu(p_{m,n})}\) nie zmienia się przy tak zdefiniowanych \(\displaystyle{ p_{m,n}}\)

max123321 pisze:Czy ten zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty}P_m}\) to nie będzie po prostu zbiór liczb wymiernych?

A to jest ciekawe pytanie, ale odpowiedź jest negatywna. Ogólnie \(\displaystyle{ \QQ}\) nie jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta},}\) czyli przeliczalnym przekrojem zbiorów otwartych.

Dasio11 pisze:

max123321 pisze:Czy ten zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty}P_m}\) to nie będzie po prostu zbiór liczb wymiernych?

A to jest ciekawe pytanie, ale odpowiedź jest negatywna. Ogólnie \(\displaystyle{ \QQ}\) nie jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta},}\) czyli przeliczalnym przekrojem zbiorów otwartych.

No ok to weźmy liczbę wymierną \(\displaystyle{ 3/7}\). Czy do zbioru \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty}P_m}\) należy jakieś niepuste otoczenie liczby \(\displaystyle{ 3/7}\)?

max123321 pisze:No ok to weźmy liczbę wymierną \(\displaystyle{ 3/7}\). Czy do zbioru \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty}P_m}\) należy jakieś niepuste otoczenie liczby \(\displaystyle{ 3/7}\)?

Nie należy, tylko zawiera się.

No skąd, przecież ten przekrój jest miary zero, to jak ma zawierać zbiór otwarty? Oczywiście nie zawiera - tylko co z tego?

JK

Znaczy chyba źle się wyraziłem, chodziło mi o przedział. W sensie jak mamy \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}\left( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)}\) to czy ten zbiór to będzie równy \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\)?

Tak, będzie on równy \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\).

Ale to w żaden sposób nie prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty}P_m}\) to zbiór liczb wymiernych.

Wydaje mi się, że problem polega na tym, że zmieniłeś w swoim myśleniu kolejnością sumę uogólnioną i przekrój uogólniony, no ale przecież
\(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{ \infty } \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(w_n -\frac{1}{m2^n},w_n+\frac{1}{m2^n}\right){\red \neq } \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=1}^{ \infty } \left(w_n -\frac{1}{m2^n},w_n+\frac{1}{m2^n}\right)}\)
To po prawej to faktycznie zbiór liczb wymiernych, ale to nie ma nic wspólnego z zadaniem i jego rozwiązaniem, ponieważ interesuje nas miara tego zbioru, który jest po lewej.

No masz rację Premislav, tak myślałem.

To jak w takim razie należy sobie wyobrażać zbiór
\(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{ \infty } \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(w_n -\frac{1}{m2^n},w_n+\frac{1}{m2^n}\right)}\)? Weźmy na przykład ciąg liczb wymiernych ułożony metodą przekątniową. Jakiego typu przedziały będą wtedy zawierały się w tym zbiorze? To chyba ma związek z tym, że te przedziały nie są rozłączne.

Czy w zbiorze miary zero mogą w ogóle być jakieś przedziały?

No nie mogą. To jakie przedziały będą w takim razie zawierały się w tym zbiorze:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(w_n -\frac{1}{m2^n},w_n+\frac{1}{m2^n}\right)}\)

Ten zbiór jest otwarty, a każdy zbiór otwarty jest sumą przeliczalnej (co najwyżej) ilości zbiorów otwartych. Wygląd tego zbioru bardzo zależy od tego jak ponumerowano liczby wymierne.