Matematyka.pl

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 111111111111111}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 1111}\).

Problem w tym, że te liczby nie dzielą się przez siebie

Hatsjie pisze: Problem w tym, że te liczby nie dzielą się przez siebie

No to pokaż, że tak nie jest.

Można by taki dowód przedstawić po prostu w postaci dzielenia pisemnego? Przecież przy tak małych liczbach, to by była najprostsza i niewątpliwie niepodważalna metoda. Można dzięki temu wykazać zarówno podzielność, jak i niepodzielność.

No tak
A czy to wykazanie jest dobre?:

\(\displaystyle{ 111111111111111}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 1111}\) bo liczba cyfr 1. liczby nie dzieli się przez liczbę cyfr 2. liczby

\(\displaystyle{ 111111111111111 : 1111= n\ r.\ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\) bo
\(\displaystyle{ 15:4=3\ r.\ 3}\)

-- 13 mar 2018, o 16:21 --

Bierut pisze:Można by taki dowód przedstawić po prostu w postaci dzielenia pisemnego? Przecież przy tak małych liczbach, to by była najprostsza i niewątpliwie niepodważalna metoda. Można dzięki temu wykazać zarówno podzielność, jak i niepodzielność.

Tak w tym przypadku można, ale jakby były większe liczby to jak to można by było inaczej udowodnić?

Hatsjie pisze:\(\displaystyle{ 111111111111111}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 1111}\) bo liczba cyfr 1. liczby nie dzieli się przez liczbę cyfr 2. liczby

\(\displaystyle{ 111111111111111 : 1111= n\ r.\ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\) bo
\(\displaystyle{ 15:4=3\ r.\ 3}\)

Na ale to jest stwierdzenie, którego nie udowodniłaś - dlaczego fakt, że liczba cyfr 1. liczby nie dzieli się przez liczbę cyfr 2. liczby ma świadczyć o tym, że pierwsza liczba nie jest podzielna przez drugą?

JK

Mam taki pomysł.

Rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze:
\(\displaystyle{ 1111=11cdot101}\)

Czyli liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 1111}\), jeżeli jest podzielna jednocześnie przez \(\displaystyle{ 11}\) oraz \(\displaystyle{ 101}\).

- Liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), jeśli po odjęciu sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 11}\).
Źródło z dowodem - Wikipedia: ... 7_przez_11

- Liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 101}\), jeśli po podzieleniu od końca danej liczby w pary, na zmianę dodając i odejmując dane pary, otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 101}\).
Źródło z dowodem - matematyka.pl: 250613.htm#p941942

Bierut, Ty to lubisz sobie życie komplikować...

Przecież

\(\displaystyle{ 111111111111111=1111\cdot 10^{11}+1111\cdot 10^7+1111\cdot 10^3+111}\)

skąd od razu widać, że

\(\displaystyle{ 111111111111111\equiv 111\pmod{1111}}\).

JK

Chciałem znaleźć jakąś bardziej ogólną metodę dla dowolnych liczb. Jednak w zadaniu rzeczywiście chodzi jedynie o liczby składające się z samych jedynek. W takim wypadku zawsze da się je rozpisać tak, jak przedstawiłeś.