Matematyka.pl

Oblicz największą wartość funkcji \(\displaystyle{ jp(x)}\) .
\(\displaystyle{ jp(x)=\cos^{2}x-\sin x}\)
\(\displaystyle{ -\sin^{2}x-\sin x+1=0}\)
Zmienna \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ -t^{2}-t-1=0}\)
I teraz pytanie, jak to policzyć dalej?
Wiem, że największa wartość znajduje się w wierzchołku
\(\displaystyle{ q= \frac{5}{4}}\)
Natomiast
\(\displaystyle{ p = -\frac{1}{2}}\)
Więc co powinienem zrobić? Jest to zadanie kodowane, mam podać liczbę jedności i dwie pierwsze po przecinku, więc średnio widzi mi się rozwiązanie typu
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\)

Od początku:
Mamy funkcję \(\displaystyle{ jp(x)=\cos^{2}x-\sin x}\) i zadanie jest by obliczyć największą wartość tej funkcji i podać jej wartość (a właściwie część tej wartości).

Potem przekształcasz: \(\displaystyle{ \cos^{2}x-\sin x = \cos^2x + \sin^2x - \sin^2x - \sin x = -\sin^2x - \sin x + 1}\) i przyrównujesz do zera:

\(\displaystyle{ -\sin^2x - \sin x + 1 = 0}\)

Dalej stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ \sin x = t}\) i wychodzi Ci:

\(\displaystyle{ -t^2 - t + 1 = 0}\)

No i tutaj znak pomyliłeś chyba, bo powinien być plus, a Ty masz minus.

Mam nadzieję, że dobrze odczytałem intencję.
Skoro doprowadziłeś to już do funkcji kwadratowej, to patrzymy gdzie osiąga ona największą wartość. Wiemy, że w wierzchołku, więc ze wzoru liczymy:

\(\displaystyle{ q = - \frac{\Delta}{4a}}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 1 + 4 = 5}\)

\(\displaystyle{ q = \frac{5}{4}}\)

I to jest największa wartość jaką ta funkcja przyjmuje. Chcą od nas odpowiedzi w formie dziesiętnej więc sobie dzielimy:
\(\displaystyle{ \frac{5}{4} = 1,25}\)

Tak też należy zakodować: 1 2 5

To rozwiązanie nie jest kompletne. Trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ -t^2 - t + 1}\) może osiągać swoje maksimum dla \(\displaystyle{ t}\), które nie musi być sinusem żadnej liczby. Należy zatem sprawdzić, czy wierzchołek tej paraboli znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\)

Czekamy na pompki

DamianTancerz pisze:
Dalej stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ \sin x = t}\)

I w tym miejscu, tzn przy wprowadzaniu niewiadomej pomocniczej, zawsze trzeba określić jej dziedzinę.

Potem w tym zadaniu, obliczyć wartości funkcji na krańcach tej dziedziny.

Nie trzeba w ogóle podstawiać zmiennej pomocniczej (choć można).
\(\displaystyle{ \cos^2 x-\sin x=1-\sin^2 x-\sin x=\frac 5 4-\left( \sin x+\frac 1 2\right)^2 \le \frac 5 4}\),
równość dla \(\displaystyle{ \sin x=-\frac 1 2}\), czyli dla \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi, \ k \in \ZZ}\).

BTW Ale to kodowanie jest głupie, Zahion gdzieś już pisał, dlaczego.

@DamianTancerz
A przypadkiem nie jest to q, wyznaczone dla nowego równania t i odpowiadającym mu współczynnikom?
Byłem prawie że pewny, że trzeba się potem cofnąć do sinx

@a4karo

Należy zatem sprawdzić, czy wierzchołek tej paraboli znajduje się w przedziale [-1,1]

Przecież [-1,1] to zbiór wartości, co on ma do wyznaczenia przedziału przez \(\displaystyle{ /sinx}\)?

@Ania221
Dziedzine \(\displaystyle{ \sinx}\)? Chyba jest coś, czego nie wiem

@Premislav
Jednak wole policzyć to tym moim wejściowym zamysłem

__
Nie rozumiem tego zadania i nie wiem co ma policzenie największej wartości równania zmiennej t, do równania właściwego

To proste, podstawiasz \(\displaystyle{ t=\sin x}\), a przecież zbiorem wartości funkcji sinus (dla rzeczywistych argumentów) jest \(\displaystyle{ [-1;1]}\), więc nie interesuje Cię tak naprawdę
\(\displaystyle{ \max_{t \in \RR}(1-t-t^2)}\), tylko \(\displaystyle{ \max_{t \in [-1;1]}(1-t-t^2)}\), a że to jest to samo, to w sumie przypadek.
Na tej samej zasadzie nie powiesz, że minimalna wartość funkcji \(\displaystyle{ g(x)=(\sin x-2)^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) wynosi zero, bo nie istnieje taki \(\displaystyle{ x \in \RR}\), że \(\displaystyle{ \sin x=2}\).


Może jakaś głupawa analogia z życia, jak nie masz za bardzo intuicji matematycznej. Chcesz ustalić, kto w Twojej klasie jest najlepszym zapaśnikiem różnico (no bo jak jest sumo, to różnico też). Wówczas które rozwiązanie wybierzesz:
a) zorganizowanie turnieju różnico i zaproszenie całej szkoły;
b) zorganizowanie turnieju różnico i zaproszenie tylko członków Twojej klasy


W tej pierwszej sytuacji dowiesz się, kto ze szkoły jest najlepszym zapaśnikiem, a więc jeśli nie będzie to osoba z Twojej klasy, to nadal nie będziesz wiedział, kto w Twojej klasie jest najlepszy.-- 8 mar 2018, o 10:36 --No chociaż to nie do końca słuszna analogia, bo systemy turniejowe są różne, jakby zorganizować turniej z odpowiednim systemem, to i tak dałoby się wywnioskować, kto z Twojej klasy jest najlepszy.

ramefn pisze: @Ania221
Dziedzine \(\displaystyle{ \sinx}\)? Chyba jest coś, czego nie wiem

Hm...
Otrzymujemy \(\displaystyle{ f(t).}\)
czyli zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(t)}\) jest dziedziną tej funkcji?
No ale nie będę się sprzeczać o terminologię.

a4karo pisze:To rozwiązanie nie jest kompletne. Trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ -t^2 - t + 1}\) może osiągać swoje maksimum dla \(\displaystyle{ t}\), które nie musi być sinusem żadnej liczby. Należy zatem sprawdzić, czy wierzchołek tej paraboli znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\)

Czekamy na pompki

Prawda.
A pompki już zrobione.

Ej kurde, to masz kondycję, jak ja zrobię pięć pompek, to tu mnie boli, tam mnie boli… xD

Póki podnosisz się z ziemi, to nie jest źle.