Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tej równości indukcją matematyczną

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} P^{n}_{k} =0}\)

Dziękuję

A co dla Ciebie oznacza \(\displaystyle{ P_{k}^{n}}\) ?

mea culpa powinno byc:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} P^{k}_{n} =0}\)

No dobrze, ale co oznacza \(\displaystyle{ P_{n}^{k}}\) ?

\(\displaystyle{ P^{k}_{n}}\) oznaczenia w trójkącie Pascal gdzie: \(\displaystyle{ n}\) - numer rzędu a \(\displaystyle{ k}\) - numer miejsca

Można np tak:
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} = 1 - 1 = 0}\)
Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n + 1}(-1)^{k}P_{n}^{k} = P_{n+1}^{0} + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n+1}^{k} + (-1)^{n+1}P_{n+1}^{n+1} = \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}(P_{n}^{k} + P_{n}^{k - 1}) + (-1)^{n+1}= \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n+1} =\\
= 1 + \sum_{k= 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - 1 - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n} + (-1)^{n+1} = 0}\)
(co ciekawe aby to wykazać nie jest konieczne korzystanie z założenia indukcyjnego)
i np z zasady indukcji wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)


Skorzystałem z tego, że dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N} \setminus \{0\}}\) jest:
\(\displaystyle{ P_{n}^{0} = 1\\
P_{n}^{n} = 1}\)
a ponadto dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}\setminus \{0, 1\}}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\)

Jasne. Dzięki za pomoc!