Wykazać równość

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
bah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hmm
Podziękował: 1 raz

Wykazać równość

Post autor: bah » 26 wrz 2007, o 19:28

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tej równości indukcją matematyczną

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} P^{n}_{k} =0}\)

Dziękuję
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wykazać równość

Post autor: max » 26 wrz 2007, o 19:43

A co dla Ciebie oznacza \(\displaystyle{ P_{k}^{n}}\) ?

bah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hmm
Podziękował: 1 raz

Wykazać równość

Post autor: bah » 26 wrz 2007, o 20:06

mea culpa powinno byc:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} P^{k}_{n} =0}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wykazać równość

Post autor: max » 26 wrz 2007, o 20:09

No dobrze, ale co oznacza \(\displaystyle{ P_{n}^{k}}\) ?

bah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hmm
Podziękował: 1 raz

Wykazać równość

Post autor: bah » 26 wrz 2007, o 20:21

\(\displaystyle{ P^{k}_{n}}\) oznaczenia w trójkącie Pascal gdzie: \(\displaystyle{ n}\) - numer rzędu a \(\displaystyle{ k}\) - numer miejsca

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wykazać równość

Post autor: max » 27 wrz 2007, o 11:19

Można np tak:
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} = 1 - 1 = 0}\)
Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n + 1}(-1)^{k}P_{n}^{k} = P_{n+1}^{0} + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n+1}^{k} + (-1)^{n+1}P_{n+1}^{n+1} = \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}(P_{n}^{k} + P_{n}^{k - 1}) + (-1)^{n+1}= \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n+1} =\\
= 1 + \sum_{k= 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - 1 - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n} + (-1)^{n+1} = 0}\)

(co ciekawe aby to wykazać nie jest konieczne korzystanie z założenia indukcyjnego)
i np z zasady indukcji wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)


Skorzystałem z tego, że dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N} \setminus \{0\}}\) jest:
\(\displaystyle{ P_{n}^{0} = 1\\
P_{n}^{n} = 1}\)

a ponadto dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}\setminus \{0, 1\}}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\)

bah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hmm
Podziękował: 1 raz

Wykazać równość

Post autor: bah » 29 wrz 2007, o 14:44

Jasne. Dzięki za pomoc!

ODPOWIEDZ