Strona 1 z 1
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a
: 8 sty 2018, o 11:32
autor: damek
Cześć, mam problem z tym o to zadaniem:
Należy wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a funkcji F(s) zadanej w postaci:
\(\displaystyle{ F(s)=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}+9}}\)
Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ L_{s}^{-1}[ \frac{2}{s^{2}+4s+13} + \frac{s}{s^{2}+4s+13}]}\)
Nigdy w życiu nie miałem styczności z odwrotną transformatą Laplace'a więc prosiłbym o łopatologiczne wytłumaczenie.
Dziękuje z góry
A dodam jeszcze, że wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})}\)
Tak podpowiada mi WolframAlpha.
Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a
: 8 sty 2018, o 11:36
autor: kerajs
Gotowe wzorki:
\(\displaystyle{ L^{-1}\left\{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\cos bt \\
L^{-1}\left\{ \frac{b}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\sin bt}\)
Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a
: 8 sty 2018, o 11:47
autor: damek
\(\displaystyle{ L^{-1}\left\{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\cos bt \\}\)
Okej, więc wynik to:
\(\displaystyle{ e ^{-2t}cos(3t)}\), zgadza się z odpowiedzią w książce.
Ale dlaczego Wolfram pokazuje \(\displaystyle{ \frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})}\)
To pewnie to samo, ale nie rozumiem...
Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a
: 8 sty 2018, o 11:55
autor: kerajs
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})=\frac{1}{2} e ^{-2t}e ^{-3t}(1+e^{6it})=\\
=\frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(1+\cos 6t+i\sin 6t)=\\=
\frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(1+\cos^2 3t-\sin^23t+i2\sin 3t\cos 3t)=\\=
\frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(2\cos^2 3t+i2\sin 3t\cos 3t)=\\=
e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(\cos^2 3t+i\sin 3t\cos 3t)=\\=
e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)\cos 3t(\cos 3t+i\sin 3t)=\\= e ^{-2t}\cos 3t(\cos^2 3t-i^2\sin^2 3t)=\\=
e ^{-2t}\cos 3t(\cos^2 3t+\sin^2 3t)= e ^{-2t}\cos 3t}\)
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a
: 8 sty 2018, o 11:59
autor: damek
Dziękuje za pomoc!
Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a
: 8 sty 2018, o 14:12
autor: kerajs
Inaczej:
\(\displaystyle{ F(s)=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}+9}=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}-(i3)^2}=
\frac{s+2}{ (s+2+i3)(s+2-i3)}=\\= \frac{ \frac{1}{2} }{s+2+i3}+ \frac{ \frac{1}{2}}{s+2-i3}}\)
\(\displaystyle{ L^{-1}\left[ F(s)\right]= L^{-1}\left[ \frac{ \frac{1}{2} }{s+2+i3}+ \frac{ \frac{1}{2}}{s+2-i3}\right]= \frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+ \frac{1}{2}e^{(-2+i3)t}=...}\)
Tu wolfram preferuje postać wykładniczą :
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+ \frac{1}{2}e^{(-2 \red -i3+i3 \black +i3)t}=
\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+\frac{1}{2}e^{(-2 \red -i3 \black )t} e^{( \red i3 \black +i3)t}=\\=\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}(1+e^{i6t})}\)
zamiast postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ ...= \frac{1}{2}e^{-2t} e^{-i3t}+ \frac{1}{2}e^{-2t} e^{i3t}=\frac{1}{2}e^{-2t}\left( e^{-i3t}+e^{i3t}\right) =\frac{1}{2}e^{-2t}\left( \cos (-3t)+i \sin (-3t)+\cos (3t)+i \sin (3t)\right)=\\= \frac{1}{2}e^{-2t}\left( \cos (3t)-i \sin (3t)+\cos (3t)+i \sin (3t)\right)= \frac{1}{2}e^{-2t} 2\cos (3t)=e^{-2t} \cos (3t)}\)
Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a
: 8 sty 2018, o 21:11
autor: mortan517
Wolfram pokazuje też ten uproszczony wynik, wystarczy zjechać niżej.