Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
damek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 24 lis 2015, o 18:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: damek » 8 sty 2018, o 11:32

Cześć, mam problem z tym o to zadaniem:
Należy wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a funkcji F(s) zadanej w postaci:

\(F(s)=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}+9}\)

Doszedłem do czegoś takiego:

\(L_{s}^{-1}[ \frac{2}{s^{2}+4s+13} + \frac{s}{s^{2}+4s+13}]\)

Nigdy w życiu nie miałem styczności z odwrotną transformatą Laplace'a więc prosiłbym o łopatologiczne wytłumaczenie.
Dziękuje z góry

A dodam jeszcze, że wynik to \(\frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})\)
Tak podpowiada mi WolframAlpha.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: kerajs » 8 sty 2018, o 11:36

Gotowe wzorki:
\(L^{-1}\left\{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\cos bt \\ L^{-1}\left\{ \frac{b}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\sin bt\)

damek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 24 lis 2015, o 18:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: damek » 8 sty 2018, o 11:47

\(L^{-1}\left\{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\cos bt \\\)

Okej, więc wynik to:

\(e ^{-2t}cos(3t)\), zgadza się z odpowiedzią w książce.
Ale dlaczego Wolfram pokazuje \(\frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})\)
To pewnie to samo, ale nie rozumiem...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: kerajs » 8 sty 2018, o 11:55

\(\frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})=\frac{1}{2} e ^{-2t}e ^{-3t}(1+e^{6it})=\\ =\frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(1+\cos 6t+i\sin 6t)=\\= \frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(1+\cos^2 3t-\sin^23t+i2\sin 3t\cos 3t)=\\= \frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(2\cos^2 3t+i2\sin 3t\cos 3t)=\\= e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(\cos^2 3t+i\sin 3t\cos 3t)=\\= e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)\cos 3t(\cos 3t+i\sin 3t)=\\= e ^{-2t}\cos 3t(\cos^2 3t-i^2\sin^2 3t)=\\= e ^{-2t}\cos 3t(\cos^2 3t+\sin^2 3t)= e ^{-2t}\cos 3t\)

damek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 24 lis 2015, o 18:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: damek » 8 sty 2018, o 11:59

Dziękuje za pomoc!

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: kerajs » 8 sty 2018, o 14:12

Inaczej:
\(F(s)=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}+9}=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}-(i3)^2}= \frac{s+2}{ (s+2+i3)(s+2-i3)}=\\= \frac{ \frac{1}{2} }{s+2+i3}+ \frac{ \frac{1}{2}}{s+2-i3}\)
\(L^{-1}\left[ F(s)\right]= L^{-1}\left[ \frac{ \frac{1}{2} }{s+2+i3}+ \frac{ \frac{1}{2}}{s+2-i3}\right]= \frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+ \frac{1}{2}e^{(-2+i3)t}=...\)
Tu wolfram preferuje postać wykładniczą :
\(...=\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+ \frac{1}{2}e^{(-2 \red -i3+i3 \black +i3)t}= \frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+\frac{1}{2}e^{(-2 \red -i3 \black )t} e^{( \red i3 \black +i3)t}=\\=\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}(1+e^{i6t})\)
zamiast postaci trygonometrycznej:
\(...= \frac{1}{2}e^{-2t} e^{-i3t}+ \frac{1}{2}e^{-2t} e^{i3t}=\frac{1}{2}e^{-2t}\left( e^{-i3t}+e^{i3t}\right) =\frac{1}{2}e^{-2t}\left( \cos (-3t)+i \sin (-3t)+\cos (3t)+i \sin (3t)\right)=\\= \frac{1}{2}e^{-2t}\left( \cos (3t)-i \sin (3t)+\cos (3t)+i \sin (3t)\right)= \frac{1}{2}e^{-2t} 2\cos (3t)=e^{-2t} \cos (3t)\)

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: mortan517 » 8 sty 2018, o 21:11

Wolfram pokazuje też ten uproszczony wynik, wystarczy zjechać niżej.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=L% ... %2B9%7D%5D

ODPOWIEDZ