Matematyka.pl

Dzień dobry! Wiem, że jest taki wzór na całkę: \(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^2 + a^2 } } = \ln \left|x + \sqrt{ x^{2} + a^{2}}\right| + C}\). Proszę wyjaśnić, jak go wyprowadzić.

Podstaw
\(\displaystyle{ t=x+\sqrt{x^2+a^2}}\)

.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } } =\left|\begin{array} \ x=a\sinh t\\ \,\dd x=a\cosh t \end{array} \right|= \int_{}^{}1 \,\dd t=t+C}\)
Zakładam tu, że \(\displaystyle{ a>0}\) , żeby się nie szamotać ze znakami.
Popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}}\) ,
zatem \(\displaystyle{ x=a\sinh t \Leftrightarrow \frac x a=\sinh t}\)
i jeżeli \(\displaystyle{ u=\sinh t= \frac{e^t-e^{-t}}{2}}\) ,
to \(\displaystyle{ 2e^t \cdot u=e^{2t}-1}\) , tj.
kładąc \(\displaystyle{ z=e^t}\) mamy równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ z^2-2z \cdot u-1=0 \\ \Delta=4u^2+4>0\\ z= \frac{2u\pm \sqrt{4u^2+4}}{2}\\ z=u\pm \sqrt{u^2+1}}\)
Skoro jednak \(\displaystyle{ z=e^t}\) i \(\displaystyle{ t\in \RR}\) , to \(\displaystyle{ z>0}\) , zaś \(\displaystyle{ u+\sqrt{u^2+1}>0}\) oraz \(\displaystyle{ u-\sqrt{u^2+1}<0}\) ,
więc wybieramy tę pierwszą możliwość.
Tj. otrzymaliśmy:
\(\displaystyle{ z=u+\sqrt{u^2+1}\\ e^t=u+\sqrt{u^2+1}\\ t=\ln\left( u+\sqrt{u^2+1}\right)}\)
Jeżeli teraz \(\displaystyle{ u=\frac{x}{a}, \ a>0}\) , to
\(\displaystyle{ t=\ln\left( \frac x a+\sqrt{ \frac{x^2}{a^2}+1 }\right) =\ln\left( \frac 1 a\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right) \right)=}\)
\(\displaystyle{ =\ln\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\ln (a)}\) , czy jakoś tak.

Premislav, oh, wyszło trochę skomplikowanej niż myślałem, ale dziekuję!

Cóż, mój sposób jest prostszy, ale wymaga trochę pracy od autora wątku.

Sposób 3 (mnie przekonała).

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } } =\left|\begin{array} \ x=a\tg t\\ \,\dd x= a\left( 1+\tg^2t\right) \mbox{d}t \end{array} \right|= \int_{}^{} \frac{1+tg^2x }{ \sqrt{1+tg^2x}} \mbox{d}t= \int_{}^{} \frac{1}{\cos t} \mbox{d}t}\)

Całkę liczymy \(\displaystyle{ s=\tg \frac{t}{2}}\) .

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\cos t} \mbox{d}t=\ln\left| \tg t+ \frac{1}{\cos t} \right| +C}\)

Na koniec wracamy z podstawianiem do zmiennej \(\displaystyle{ x}\) , co da:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } }=\ln\left| \tg \arctg \frac{x}{a}+\frac{1}{\cos \arctg \frac{x}{a} }\right|+C}\)

Jako zadanie dla czytelnika zostawiam pokazanie równości:

\(\displaystyle{ \tg \arctg \frac{x}{a}+\frac{1}{\cos \arctg \frac{x}{a} }= \frac{x+ \sqrt{x^2+a} }{a}}\) ,

która dokończy dowód.

\(\displaystyle{ t=x+\sqrt{x^2+k}}\)
\(\displaystyle{ dt=\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+k}}\right) dx=\frac{\sqrt{x^2+k}+x}{\sqrt{x^2+k}}dx=\frac{t}{\sqrt{x^2+k}}dx}\)
czyli
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\int\frac{dt}{t}=...}\)

Podstawieniami Eulera można całki postaci

\(\displaystyle{ \int{R\left( x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right) \mbox{d}x }}\)

sprowadzić do całek z funkcyj wymiernych

a także znaleźć tzw podstawienie uniwersalne dla całek postaci

\(\displaystyle{ \int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right) \mbox{d}x }}\)

Podstawienia cyklometryczne po zapisaniu trójmianu kwadratowego w postaci kanonicznej sprowadzą całki postaci \(\displaystyle{ \int{R\left( x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right) \mbox{d}x }}\)
do całek postaci \(\displaystyle{ \int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right) \mbox{d}x }}\)
Widziałem też że amerykańcy używają go do całkowania ułamka prostego
ale to jest kiepskie podejście pod względem metodyki nauczania bo
całki postaci \(\displaystyle{ \int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right) \mbox{d}x }}\)
często wymagają znajomości całkowania funkcyj wymiernych więc podstawienia cyklometryczne
powinny być wprowadzane później więc do całkowania tego ułamka prostego
proponuję wzór redukcyjny bądź wzór Ostrogradskiego na wydzielenie części wymiernej całki

U Kuratowskiego (Monografie matematyczne tom 15.)
analiza matematyczna jest na poziomie licealnym
(Ja miałem wszystko co u Kuratowskiego w szkole średniej )
Nieco więcej analizy masz w skrypcie Banacha
Tylko te książki elektroniczne znalazłem do ściągnięcia za darmo