Wyprowadzić całkę.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Wyprowadzić całkę.

Post autor: Big_Boss1997 » 29 gru 2017, o 18:45

Dzień dobry! Wiem, że jest taki wzór na całkę: \(\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } } = \ln \left|x + \sqrt{ x^{2} + a^{2}\right| + C\). Proszę wyjaśnić, jak go wyprowadzić.
Ostatnio zmieniony 29 gru 2017, o 19:30 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Wyprowadzić całkę.

Post autor: a4karo » 29 gru 2017, o 19:02

Podstaw
\(t=x+\sqrt{x^2+a^2}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14144
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyprowadzić całkę.

Post autor: Premislav » 29 gru 2017, o 19:07

Bardzo proszę.

\(\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } } =\left|\begin{array} \ x=a\sinh t\\ \,\dd x=a\cosh t \end{array} \right|= \int_{}^{}1 \,\dd t=t+C\)
Zakładam tu, że \(a>0\) , żeby się nie szamotać ze znakami.
Popatrzmy:
\(\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\) ,
zatem \(x=a\sinh t \Leftrightarrow \frac x a=\sinh t\)
i jeżeli \(u=\sinh t= \frac{e^t-e^{-t}}{2}\) ,
to \(2e^t \cdot u=e^{2t}-1\) , tj.
kładąc \(z=e^t\) mamy równanie kwadratowe zmiennej \(z\):
\(z^2-2z \cdot u-1=0 \\ \Delta=4u^2+4>0\\ z= \frac{2u\pm \sqrt{4u^2+4}}{2}\\ z=u\pm \sqrt{u^2+1}\)
Skoro jednak \(z=e^t\) i \(t\in \RR\) , to \(z>0\) , zaś \(u+\sqrt{u^2+1}>0\) oraz \(u-\sqrt{u^2+1}<0\) ,
więc wybieramy tę pierwszą możliwość.
Tj. otrzymaliśmy:
\(z=u+\sqrt{u^2+1}\\ e^t=u+\sqrt{u^2+1}\\ t=\ln\left( u+\sqrt{u^2+1}\right)\)
Jeżeli teraz \(u=\frac{x}{a}, \ a>0\) , to
\(t=\ln\left( \frac x a+\sqrt{ \frac{x^2}{a^2}+1 }\right) =\ln\left( \frac 1 a\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right) \right)=\)
\(=\ln\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\ln (a)\) , czy jakoś tak.

Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Wyprowadzić całkę.

Post autor: Big_Boss1997 » 29 gru 2017, o 19:50

Premislav, oh, wyszło trochę skomplikowanej niż myślałem, ale dziekuję!

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Wyprowadzić całkę.

Post autor: a4karo » 29 gru 2017, o 20:35

Cóż, mój sposób jest prostszy, ale wymaga trochę pracy od autora wątku.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Wyprowadzić całkę.

Post autor: Janusz Tracz » 29 gru 2017, o 21:13

Sposób 3 z pozdrowieniami dla mariuszma (mnie przekonała).

\(\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } } =\left|\begin{array} \ x=a\tg t\\ \,\dd x= a\left( 1+\tg^2t\right) \mbox{d}t \end{array} \right|= \int_{}^{} \frac{1+tg^2x }{ \sqrt{1+tg^2x}} \mbox{d}t= \int_{}^{} \frac{1}{\cos t} \mbox{d}t\)

Całkę liczymy podstawieniem uniwersalnym \(s=\tg \frac{t}{2}\) .

\(\int_{}^{} \frac{1}{\cos t} \mbox{d}t=\ln\left| \tg t+ \frac{1}{\cos t} \right| +C\)

Na koniec wracamy z podstawianiem do zmiennej \(x\) , co da:

\(\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } }=\ln\left| \tg \arctg \frac{x}{a}+\frac{1}{\cos \arctg \frac{x}{a} }\right|+C\)

Jako zadanie dla czytelnika zostawiam pokazanie równości:

\(\tg \arctg \frac{x}{a}+\frac{1}{\cos \arctg \frac{x}{a} }= \frac{x+ \sqrt{x^2+a} }{a}\) ,

która dokończy dowód.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Wyprowadzić całkę.

Post autor: a4karo » 29 gru 2017, o 21:21

\(t=x+\sqrt{x^2+k}\)
\(dt=\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+k}}\right) dx=\frac{\sqrt{x^2+k}+x}{\sqrt{x^2+k}}dx=\frac{t}{\sqrt{x^2+k}}dx\)
czyli
\(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\int\frac{dt}{t}=...\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Wyprowadzić całkę.

Post autor: mariuszm » 11 mar 2018, o 23:54

Podstawieniami Eulera można całki postaci

\(\int{R\left( x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right) \mbox{d}x }\)

sprowadzić do całek z funkcyj wymiernych

a także znaleźć tzw podstawienie uniwersalne dla całek postaci

\(\int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right) \mbox{d}x }\)

Podstawienia cyklometryczne po zapisaniu trójmianu kwadratowego w postaci kanonicznej sprowadzą całki postaci \(\int{R\left( x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right) \mbox{d}x }\)
do całek postaci \(\int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right) \mbox{d}x }\)
Widziałem też że amerykańcy używają go do całkowania ułamka prostego
ale to jest kiepskie podejście pod względem metodyki nauczania bo
całki postaci \(\int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right) \mbox{d}x }\)
często wymagają znajomości całkowania funkcyj wymiernych więc podstawienia cyklometryczne
powinny być wprowadzane później więc do całkowania tego ułamka prostego
proponuję wzór redukcyjny bądź wzór Ostrogradskiego na wydzielenie części wymiernej całki

U Kuratowskiego (Monografie matematyczne tom 15.)
analiza matematyczna jest na poziomie licealnym
(Ja miałem wszystko co u Kuratowskiego w szkole średniej )
Nieco więcej analizy masz w skrypcie Banacha
Tylko te książki elektroniczne znalazłem do ściągnięcia za darmo

ODPOWIEDZ