Matematyka.pl

"Wykaż, że jeśli suma wszystkich współczynników we wzorze funkcji \(\displaystyle{ f(x) = px^2 + qx + m}\) jest równa zeru, to funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe."

Zapisałem 3 strony w zeszycie, ale do niczego konkretnego nie doszedłem. Mógłbym prosić o nakierowanie?

Próbowałem wykazać tą nierówność:

\(\displaystyle{ q^2 - 4pm \ge p+q+m}\),

ale nie wychodzi mi za nic.

Czyli rozumiem że \(\displaystyle{ p+q+m=0}\) ?
Bo jeśli tak to

\(\displaystyle{ f(1)=p+q+m=0}\)

co kończy dowód.

No to szkoda było tyle papieru:

\(\displaystyle{ f(1)=0 \Leftrightarrow p+q+m=0}\)

Dziękuję Panowie. Trochę wstyd :/

Można też wykazać to za pomocą wyróżnika, ale zajmuje to ze dwie linijki w zeszycie.

Belf pisze:Można też wykazać to za pomocą wyróżnika, ale zajmuje to ze dwie linijki w zeszycie.

Ciekawość mnie zżera.

W takim razie zrobisz to sam:

1) policz wyróżnik
2) w miejsce: \(\displaystyle{ q}\) podstaw:\(\displaystyle{ q=-p-m}\)
3) otrzymane wyrażenie zwiń do kwadratu dwumianu

\(\displaystyle{ q^2 - 4pm \\
q = -p -m}\)

\(\displaystyle{ (-p-m)^2 - 4pm = p^2 + 2pm + m^2 - 4pm = (p-m)^2 \ge 0}\)?

Perfect.Teraz komentarz: \(\displaystyle{ (p-m)^2 = \Delta \ge 0}\) , zatem : \(\displaystyle{ f(x)}\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.