Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } \frac{2 \arccot x}{ \pi +2 \arctan x}}\)

skrocilo mi sie i wyszlo \(\displaystyle{ 1}\), a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \infty}\) prosze o pomoc

A co Ci się skróciło?

podstawiam do wzorow i wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{2( \pi -\arccot (-x)) }{2( \frac{\pi}{2}-\arctan (-x) }= \frac{\pi-0}{ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2} }= \frac{\pi}{0}= \infty}\)

dobra blad rachunkowy byl teraz chyba spoko

Jeszcze trzeba troche ostrożnośći, bo wyrażenie \(\displaystyle{ \left[\frac{\pi}{0}\right]}\) nie jest równe \(\displaystyle{ \infty}\). wszystko zależy od znaku zera w mianowniku

Pomijając już fakt, że zapis

kaissa0012 pisze:\(\displaystyle{ \frac{2( \pi -\arccot (-x)) }{2( \frac{\pi}{2}-\arctan (-x) }= \frac{\pi-0}{ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2} }= \frac{\pi}{0}= \infty}\)

da się znieść tylko w bardzo dużym cudzysłowie...

JK

Podstawienia:

\(\displaystyle{ \pi +2\arctg(x) = t}\) (1)

\(\displaystyle{ t \rightarrow 0^{+},}\) gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow -\infty.}\)

Z (1)

\(\displaystyle{ \arctg(x) = \frac{t- \pi}{2}.}\)


\(\displaystyle{ \arcctg(x) = \frac{\pi}{2} - \arctg(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{t-\pi}= \frac{\pi (t -\pi)-4}{2(t-\pi)}.}\)

\(\displaystyle{ 2\arcctg(x) = \frac{\pi (t -\pi)-4}{(t-\pi)}.}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^{+}} \frac{\pi(t-\pi)- 4 }{(t^2-\pi\cdot t)} =\infty.}\)