Matematyka.pl

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ |z - 1| = 1}\) na płaszczyźnie zespolonej.

Pokazać, że okrąg ten można sparametryzować jako \(\displaystyle{ z(t) = e^{it} + 1}\).

Nie mam pomysłu jak zacząć. Pomożecie?

Wstaw \(\displaystyle{ z(t)}\) do równania okręgu i pokaż że równość zachodzi.

\(\displaystyle{ \left| z-1\right|=1}\)

\(\displaystyle{ \left| e^{it}+1-1\right|=1}\)

\(\displaystyle{ \left| e^{it}\right|=1}\)

\(\displaystyle{ 1=1}\)

To jeszcze za mało. Na razie wiemy, że te punkty leżą na okręgu, ale nie wiemy, czy tak opiszemy je wszystkie.

A jak się wykazuje, że opiszemy je wszystkie? Bo zakładam, że wszystkie możemy je w ten sposób opisać, tak?

\(\displaystyle{ z = x+ iy.}\)

\(\displaystyle{ |z-1| = |(x-1) + iy| = \sqrt{(x-1)^2 +y^2}=1.}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2 +y^2 = 1}\) (1)

Zapisujemy równanie okręgu (1) we współrzędnych biegunowych:

\(\displaystyle{ x(t) = 1 +\cos(t), \ \ y(t)= sin(t), \ \ t\in [0, 2\pi].}\)

Ze wzoru Leonharda Eulera:

\(\displaystyle{ z(t) = x(t) + iy(t) = 1 +\cos(t) + i\sin(t) = 1 +e^{it}.}\)