Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: ReallyGrid » 10 lis 2017, o 13:38

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ |z - 1| = 1}\) na płaszczyźnie zespolonej.

Pokazać, że okrąg ten można sparametryzować jako \(\displaystyle{ z(t) = e^{it} + 1}\).

Nie mam pomysłu jak zacząć. Pomożecie?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3150
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: Janusz Tracz » 10 lis 2017, o 13:59

Wstaw \(\displaystyle{ z(t)}\) do równania okręgu i pokaż że równość zachodzi.

\(\displaystyle{ \left| z-1\right|=1}\)

\(\displaystyle{ \left| e^{it}+1-1\right|=1}\)

\(\displaystyle{ \left| e^{it}\right|=1}\)

\(\displaystyle{ 1=1}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19220
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: a4karo » 10 lis 2017, o 14:02

To jeszcze za mało. Na razie wiemy, że te punkty leżą na okręgu, ale nie wiemy, czy tak opiszemy je wszystkie.

ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: ReallyGrid » 10 lis 2017, o 14:45

A jak się wykazuje, że opiszemy je wszystkie? Bo zakładam, że wszystkie możemy je w ten sposób opisać, tak?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6606
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1428 razy

Re: Parametryzacja okręgu na płaszczyźnie zespolonej.

Post autor: janusz47 » 10 lis 2017, o 16:24

\(\displaystyle{ z = x+ iy.}\)

\(\displaystyle{ |z-1| = |(x-1) + iy| = \sqrt{(x-1)^2 +y^2}=1.}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2 +y^2 = 1}\) (1)

Zapisujemy równanie okręgu (1) we współrzędnych biegunowych:

\(\displaystyle{ x(t) = 1 +\cos(t), \ \ y(t)= sin(t), \ \ t\in [0, 2\pi].}\)

Ze wzoru Leonharda Eulera:

\(\displaystyle{ z(t) = x(t) + iy(t) = 1 +\cos(t) + i\sin(t) = 1 +e^{it}.}\)

ODPOWIEDZ