Ile prostych wyznaczają punkty na płaszczyźnie
: 10 lis 2017, o 11:57
Dobry,
jeśli ktoś mógłby dać jakąś wskazówkę, albo użyteczny link, to będę bardzo wdzięczny.
Na początku zadanie brzmi łatwo: ile prostych jest wyznaczonych przez \(\displaystyle{ 10}\) punktów na płaszczyźnie, jeśli wiadomo, że żadne \(\displaystyle{ 3}\) z tych \(\displaystyle{ 10}\) punktów nie są współliniowe? Nic nowego, wybieramy dowolne \(\displaystyle{ 2}\) punkty z \(\displaystyle{ 10}\), czyli \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) możliwości.
Następnie natomiast sprawa się komplikuje, bo w zadaniu pytają co się stanie, jeżeli odrzucimy założenie o niewspółliniowości. Czyli jak rozumiem te punkty mogą teraz leżeć na tej płaszczyźnie w sposób bardzo dowolny? Jeżeli tak jest, to problem mam z tym, że rozważam bardzo dużo przypadków i nie za bardzo widzę jak to rozumowanie skrócić albo gdzie dostrzec jakiś pattern. Dla przykładu:
1) Dla \(\displaystyle{ 10}\) punktów współliniowych mamy \(\displaystyle{ 1}\) prostą.
2) Dla \(\displaystyle{ 9}\) punktów współliniowych i jednego niewspółliniowego z pozostałymi \(\displaystyle{ 9}\) mamy \(\displaystyle{ 9+1=10}\) prostych.
3) Dla \(\displaystyle{ 8}\) punktów współliniowych mamy już dwa przypadki: a) kiedy prosta wyznaczona przez \(\displaystyle{ 2}\) pozostałe pokrywa się z prostą wyznaczoną przez jeden punkt z \(\displaystyle{ 8}\) i jeden punkt z \(\displaystyle{ 2}\) i b) kiedy te proste się nie pokrywają. Dostaniemy więc \(\displaystyle{ 2\cdot 8 + 2 = 18}\) prostych albo \(\displaystyle{ 8+7+1=16}\) prostych.
4) Dla 7 punktów współliniowych dostałem już 5 przypadków, gdzie otrzymałem 4 różne wyniki w zależności od ułożenia prostych (\(\displaystyle{ 19, 21, 23}\) i \(\displaystyle{ 25}\) prostych). Analogicznie rozważałem proste które będą się pokrywać bądź nie.
Zacząłem rozpisywać 5) i poddałem się, bo nie widziałem celu w takim głupim wyliczaniu. Może źle do tego podchodzę i warto by na to spojrzeć od innej strony? Tylko prawie wszystkie wyniki w tych przypadkach są różne i nie mam pojęcia jak to miałbym niby uogólnić. Za wszelką pomoc będę wdzięczny.
jeśli ktoś mógłby dać jakąś wskazówkę, albo użyteczny link, to będę bardzo wdzięczny.
Na początku zadanie brzmi łatwo: ile prostych jest wyznaczonych przez \(\displaystyle{ 10}\) punktów na płaszczyźnie, jeśli wiadomo, że żadne \(\displaystyle{ 3}\) z tych \(\displaystyle{ 10}\) punktów nie są współliniowe? Nic nowego, wybieramy dowolne \(\displaystyle{ 2}\) punkty z \(\displaystyle{ 10}\), czyli \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) możliwości.
Następnie natomiast sprawa się komplikuje, bo w zadaniu pytają co się stanie, jeżeli odrzucimy założenie o niewspółliniowości. Czyli jak rozumiem te punkty mogą teraz leżeć na tej płaszczyźnie w sposób bardzo dowolny? Jeżeli tak jest, to problem mam z tym, że rozważam bardzo dużo przypadków i nie za bardzo widzę jak to rozumowanie skrócić albo gdzie dostrzec jakiś pattern. Dla przykładu:
1) Dla \(\displaystyle{ 10}\) punktów współliniowych mamy \(\displaystyle{ 1}\) prostą.
2) Dla \(\displaystyle{ 9}\) punktów współliniowych i jednego niewspółliniowego z pozostałymi \(\displaystyle{ 9}\) mamy \(\displaystyle{ 9+1=10}\) prostych.
3) Dla \(\displaystyle{ 8}\) punktów współliniowych mamy już dwa przypadki: a) kiedy prosta wyznaczona przez \(\displaystyle{ 2}\) pozostałe pokrywa się z prostą wyznaczoną przez jeden punkt z \(\displaystyle{ 8}\) i jeden punkt z \(\displaystyle{ 2}\) i b) kiedy te proste się nie pokrywają. Dostaniemy więc \(\displaystyle{ 2\cdot 8 + 2 = 18}\) prostych albo \(\displaystyle{ 8+7+1=16}\) prostych.
4) Dla 7 punktów współliniowych dostałem już 5 przypadków, gdzie otrzymałem 4 różne wyniki w zależności od ułożenia prostych (\(\displaystyle{ 19, 21, 23}\) i \(\displaystyle{ 25}\) prostych). Analogicznie rozważałem proste które będą się pokrywać bądź nie.
Zacząłem rozpisywać 5) i poddałem się, bo nie widziałem celu w takim głupim wyliczaniu. Może źle do tego podchodzę i warto by na to spojrzeć od innej strony? Tylko prawie wszystkie wyniki w tych przypadkach są różne i nie mam pojęcia jak to miałbym niby uogólnić. Za wszelką pomoc będę wdzięczny.