Matematyka.pl

Definiujemy normę \(\displaystyle{ ||.||_w \colon C[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}}\) następująco Udowodnić, że \(\displaystyle{ (C[0, 1], ||.||_w)}\) jest unormowaną przestrzenią wektorową.

Pokazałem już, że \(\displaystyle{ ||f||_w \geq 0}\) dla dowolnej \(\displaystyle{ f \in C[0, 1]}\) oraz, że \(\displaystyle{ ||f||_w = 0}\) tylko dla funkcji zerowej.
Oraz pokazałem, że \(\displaystyle{ ||\lambda f||_w = |\lambda| \cdot ||f||_w}\).
To akurat było łatwe.

Nie umiem pokazać nierówności trójkąta. Wiem, że muszę udowodnić
czyli Nic mi nie wychodzi. Jakieś sugestie jak to rozwiązać?

----- Edit: -----
Rozumiem, że jest Tylko co z tym środkowym pierwiastkiem? Co mogę o nim powiedzieć?

A więc Twoim zdaniem \(\displaystyle{ \sqrt{a+b+c}= \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}\)?

Podejrzewam zastosowanie nierówności Minkowskiego.

Co do dowodu, że spełniony jest warunek trójkąta,
nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{\int_0^1e^x(f + g)^2(x)dx} \leq \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^xg^2(x)dx}}\)
wystarczy podnieść stronami do kwadratu (można, bo obie strony są nieujemne, więc to jest przekształcenie równoważne) i po redukcji pewnych „wyrazów podobnych" oraz podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\)zostaniemy z:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}e^{x}f(x)g(x) \,\dd x \le \sqrt{ \int_{0}^{1}e^x f^2(x)\,\dd x } \sqrt{\int_{0}^{1}e^x g^2(x)\,\dd x}}\)
a to jest prawda na mocy nierówności Schwarza. Oczywiście żeby sobie tamte śmieci poodejmować, to musimy mieć zbieżne całki, ale \(\displaystyle{ f,g \in C[0,1]}\), a więc nie ma z tym problemu.

Albo jeszcze prościej, zauważ że

\(\displaystyle{ (f, g) =\int_0^1e^xf(x)g(x)dx}\) jest iloczynem skalarnym.