Udowodnić, że jest unormowaną przestrzenią wektorową

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Udowodnić, że jest unormowaną przestrzenią wektorową

Post autor: ReallyGrid » 10 lis 2017, o 01:16

Definiujemy normę \(\displaystyle{ ||.||_w \colon C[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}}\) następująco
\(\displaystyle{ ||f||_w = \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ (C[0, 1], ||.||_w)}\) jest unormowaną przestrzenią wektorową.

Pokazałem już, że \(\displaystyle{ ||f||_w \geq 0}\) dla dowolnej \(\displaystyle{ f \in C[0, 1]}\) oraz, że \(\displaystyle{ ||f||_w = 0}\) tylko dla funkcji zerowej.
Oraz pokazałem, że \(\displaystyle{ ||\lambda f||_w = |\lambda| \cdot ||f||_w}\).
To akurat było łatwe.

Nie umiem pokazać nierówności trójkąta. Wiem, że muszę udowodnić
\(\displaystyle{ ||f + g||_w \leq ||f||_w + ||g||_w}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{\int_0^1e^x(f + g)^2(x)dx} \leq \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^xg^2(x)dx}}\) dla \(\displaystyle{ f, g \in C[0, 1]}\)
Nic mi nie wychodzi. Jakieś sugestie jak to rozwiązać?

----- Edit: -----
Rozumiem, że jest
\(\displaystyle{ ||f + g||_w = \sqrt{\int_0^1e^x(f + g)^2(x)dx} = \sqrt{\int_0^1e^x\bigr(f^2(x) + 2f(x)g(x) + g^2(x)\bigl)dx} =}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^x2f(x)g(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^xg^2(x)dx} =}\)
\(\displaystyle{ ||f||_w + \sqrt{\int_0^1e^x2f(x)g(x)dx} + ||g||_w}\)
Tylko co z tym środkowym pierwiastkiem? Co mogę o nim powiedzieć?
Ostatnio zmieniony 10 lis 2017, o 23:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Literówka w temacie.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Udowodnić, że jest unormowaną przestrzenią wektorową

Post autor: leg14 » 10 lis 2017, o 01:27

A więc Twoim zdaniem \(\displaystyle{ \sqrt{a+b+c}= \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}\)?

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Udowodnić, że jest unormowaną przestrzenią wektorową

Post autor: pawlo392 » 10 lis 2017, o 01:31

Podejrzewam zastosowanie nierówności Minkowskiego.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Udowodnić, że jest unormowaną przestrzenią wektorową

Post autor: Premislav » 10 lis 2017, o 01:35

Co do dowodu, że spełniony jest warunek trójkąta,
nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{\int_0^1e^x(f + g)^2(x)dx} \leq \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^xg^2(x)dx}}\)
wystarczy podnieść stronami do kwadratu (można, bo obie strony są nieujemne, więc to jest przekształcenie równoważne) i po redukcji pewnych „wyrazów podobnych" oraz podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\)zostaniemy z:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}e^{x}f(x)g(x) \,\dd x \le \sqrt{ \int_{0}^{1}e^x f^2(x)\,\dd x } \sqrt{\int_{0}^{1}e^x g^2(x)\,\dd x}}\)
a to jest prawda na mocy nierówności Schwarza. Oczywiście żeby sobie tamte śmieci poodejmować, to musimy mieć zbieżne całki, ale \(\displaystyle{ f,g \in C[0,1]}\), a więc nie ma z tym problemu.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19188
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3244 razy

Udowodnić, że jest unormowaną przestrzenią wektorową

Post autor: a4karo » 10 lis 2017, o 03:41

Albo jeszcze prościej, zauważ że

\(\displaystyle{ (f, g) =\int_0^1e^xf(x)g(x)dx}\) jest iloczynem skalarnym.

ODPOWIEDZ