Strona 1 z 1
Nierówność z liczbami pierwszymi.
: 23 wrz 2007, o 18:36
autor: Lucjusz
Udowodnij korzystając z indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n \geqslant 12} p_{n}>3n}\), gdzie \(\displaystyle{ p_{n}}\) to n-ta liczba pierwsza (\(\displaystyle{ p_{1}=2,p_{2}=3...}\))
Nie mam pomysłu z której strony to ugryźć:(
Nierówność z liczbami pierwszymi.
: 23 wrz 2007, o 18:42
autor: JHN
hint:
Może \(\displaystyle{ p_{n+1}\ge p_{n}+2}\) wystarczy?
Pozdrawiam
Nierówność z liczbami pierwszymi.
: 23 wrz 2007, o 19:33
autor: Lucjusz
Dziękuję za wskazówkę. Próbowałem oszaczować to jakoś sprytnie korzystając z niej - niestety bezskutecznie.
Czy mógłbym poprosić o rozwiązanie?
Pozdrawiam!
Nierówność z liczbami pierwszymi.
: 23 wrz 2007, o 19:39
autor: Piotr Rutkowski
Najpierw sprawdzenie (to zrobisz sam)
Założenie \(\displaystyle{ p_{n}>3n}\) co jest równoważne \(\displaystyle{ p_{n} \geq 3n+1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ p_{n+1} \geq p_{n}+2 \geq 3n+1+2=3(n+1)}\)
Teraz, nasz p_{n+1} nie dzieli się przez 3, a więc: \(\displaystyle{ p_{n+1}>3(n+1)}\) c.n.d