Nierówność z liczbami pierwszymi.

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Lucjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 kwie 2007, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Obywatel Świata
Podziękował: 12 razy

Nierówność z liczbami pierwszymi.

Post autor: Lucjusz » 23 wrz 2007, o 18:36

Udowodnij korzystając z indukcji matematycznej:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n \geqslant 12} p_{n}>3n}\), gdzie \(\displaystyle{ p_{n}}\) to n-ta liczba pierwsza (\(\displaystyle{ p_{1}=2,p_{2}=3...}\))

Nie mam pomysłu z której strony to ugryźć:(
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 571
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 173 razy

Nierówność z liczbami pierwszymi.

Post autor: JHN » 23 wrz 2007, o 18:42

hint:
Może \(\displaystyle{ p_{n+1}\ge p_{n}+2}\) wystarczy?
Pozdrawiam

Lucjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 kwie 2007, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Obywatel Świata
Podziękował: 12 razy

Nierówność z liczbami pierwszymi.

Post autor: Lucjusz » 23 wrz 2007, o 19:33

Dziękuję za wskazówkę. Próbowałem oszaczować to jakoś sprytnie korzystając z niej - niestety bezskutecznie.
Czy mógłbym poprosić o rozwiązanie?
Pozdrawiam!

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Nierówność z liczbami pierwszymi.

Post autor: Piotr Rutkowski » 23 wrz 2007, o 19:39

Najpierw sprawdzenie (to zrobisz sam)
Założenie \(\displaystyle{ p_{n}>3n}\) co jest równoważne \(\displaystyle{ p_{n} \geq 3n+1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ p_{n+1} \geq p_{n}+2 \geq 3n+1+2=3(n+1)}\)
Teraz, nasz p_{n+1} nie dzieli się przez 3, a więc: \(\displaystyle{ p_{n+1}>3(n+1)}\) c.n.d

ODPOWIEDZ