Matematyka.pl

Udowodnij, że jeżeli w zbiorze \(\displaystyle{ X,X \subseteq G}\) każde dwa elementy są ze sobą przemienne, to \(\displaystyle{ \left\langle X\right\rangle}\) jest grupą przemienną.

Jakaś wskazówka?

Już kiedyś pokazywaliśmy Ci jaka jest postać elementów podgrupy generowanej.

No ta no. Chyba trzeba jeszcze założyć, że \(\displaystyle{ G}\) jest grupą. No i ta postać elementów to:
\(\displaystyle{ g_1^{\epsilon_1}g_2^{\epsilon_2}...g_k^{\epsilon_k}}\), gdzie: \(\displaystyle{ g_i \in X,\epsilon_i= \pm 1}\), no dobra to wiem, że zawsze \(\displaystyle{ g_ig_j=g_jg_i}\) i gdyby nie było tych epsilonów to łatwo by wyszła ta przemienność, a tak to nie wiem. Jakoś tak trzeba?

No to sobie sprawdź, że odwrotności też komutują.

Ale nie bardzo rozumiem. Jeśli \(\displaystyle{ g_1,g_2 \in X}\) to \(\displaystyle{ g_1^{-1},g_2^{-1}}\) nie muszą należeć do \(\displaystyle{ X}\).

Ale te odwrotnosci beda przemienne ze soba, wiec nie. Przezzkadza Co to, ze nie naleza do X.

Czekaj coś nie bardzo rozumiem. Jak to z tymi odwrotnościami będzie? Zgubiłem się.

W czym dokładnie przeszkadza to, że odwrotności nie należą do X?

No chyba w tym, że mogą one należeć do \(\displaystyle{ \left\langle X\right\rangle}\) i psuć przemienność w nim.

mogą one

To mogą, czy należą?
To spróbuj pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ q,p}\) są przemienne, to \(\displaystyle{ q,p^{-1}}\) są przemienne.

Ogólnie to nie wiadomo, gdzie należą. Jeśli \(\displaystyle{ g_1,g_2 \in X}\) to \(\displaystyle{ g_1^{-1},g_2{-1}}\) mogą należeć, albo do \(\displaystyle{ X}\), albo do \(\displaystyle{ \left\langle X\right\rangle}\).

Wiadomo, że należą do \(\displaystyle{ \left\langle X \right\rangle}\).