Grupa przemienna

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 7 lis 2017, o 18:20

Udowodnij, że jeżeli w zbiorze \(\displaystyle{ X,X \subseteq G}\) każde dwa elementy są ze sobą przemienne, to \(\displaystyle{ \left\langle X\right\rangle}\) jest grupą przemienną.

Jakaś wskazówka?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: szw1710 » 7 lis 2017, o 18:28

Już kiedyś pokazywaliśmy Ci jaka jest postać elementów podgrupy generowanej.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 00:02

No ta no. Chyba trzeba jeszcze założyć, że \(\displaystyle{ G}\) jest grupą. No i ta postać elementów to:
\(\displaystyle{ g_1^{\epsilon_1}g_2^{\epsilon_2}...g_k^{\epsilon_k}}\), gdzie: \(\displaystyle{ g_i \in X,\epsilon_i= \pm 1}\), no dobra to wiem, że zawsze \(\displaystyle{ g_ig_j=g_jg_i}\) i gdyby nie było tych epsilonów to łatwo by wyszła ta przemienność, a tak to nie wiem. Jakoś tak trzeba?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: szw1710 » 8 lis 2017, o 00:04

No to sobie sprawdź, że odwrotności też komutują.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 00:30

Ale nie bardzo rozumiem. Jeśli \(\displaystyle{ g_1,g_2 \in X}\) to \(\displaystyle{ g_1^{-1},g_2^{-1}}\) nie muszą należeć do \(\displaystyle{ X}\).

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 10:16

Ale te odwrotnosci beda przemienne ze soba, wiec nie. Przezzkadza Co to, ze nie naleza do X.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 22:26

Czekaj coś nie bardzo rozumiem. Jak to z tymi odwrotnościami będzie? Zgubiłem się.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 22:34

W czym dokładnie przeszkadza to, że odwrotności nie należą do X?

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 23:24

No chyba w tym, że mogą one należeć do \(\displaystyle{ \left\langle X\right\rangle}\) i psuć przemienność w nim.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 23:32

mogą one
To mogą, czy należą?
To spróbuj pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ q,p}\) są przemienne, to \(\displaystyle{ q,p^{-1}}\) są przemienne.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 23:45

Ogólnie to nie wiadomo, gdzie należą. Jeśli \(\displaystyle{ g_1,g_2 \in X}\) to \(\displaystyle{ g_1^{-1},g_2{-1}}\) mogą należeć, albo do \(\displaystyle{ X}\), albo do \(\displaystyle{ \left\langle X\right\rangle}\).

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 23:54

Wiadomo, że należą do \(\displaystyle{ \left\langle X \right\rangle}\).
Ostatnio zmieniony 9 lis 2017, o 01:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.

ODPOWIEDZ