Grupa przemienna

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 7 lis 2017, o 18:20

Udowodnij, że jeżeli w zbiorze \(X,X \subseteq G\) każde dwa elementy są ze sobą przemienne, to \(\left\langle X\right\rangle\) jest grupą przemienną.

Jakaś wskazówka?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Grupa przemienna

Post autor: szw1710 » 7 lis 2017, o 18:28

Już kiedyś pokazywaliśmy Ci jaka jest postać elementów podgrupy generowanej.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 00:02

No ta no. Chyba trzeba jeszcze założyć, że \(G\) jest grupą. No i ta postać elementów to:
\(g_1^{\epsilon_1}g_2^{\epsilon_2}...g_k^{\epsilon_k}\), gdzie: \(g_i \in X,\epsilon_i= \pm 1\), no dobra to wiem, że zawsze \(g_ig_j=g_jg_i\) i gdyby nie było tych epsilonów to łatwo by wyszła ta przemienność, a tak to nie wiem. Jakoś tak trzeba?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Grupa przemienna

Post autor: szw1710 » 8 lis 2017, o 00:04

No to sobie sprawdź, że odwrotności też komutują.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 00:30

Ale nie bardzo rozumiem. Jeśli \(g_1,g_2 \in X\) to \(g_1^{-1},g_2^{-1}\) nie muszą należeć do \(X\).

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 10:16

Ale te odwrotnosci beda przemienne ze soba, wiec nie. Przezzkadza Co to, ze nie naleza do X.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 22:26

Czekaj coś nie bardzo rozumiem. Jak to z tymi odwrotnościami będzie? Zgubiłem się.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 22:34

W czym dokładnie przeszkadza to, że odwrotności nie należą do X?

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 23:24

No chyba w tym, że mogą one należeć do \(\left\langle X\right\rangle\) i psuć przemienność w nim.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 23:32

mogą one
To mogą, czy należą?
To spróbuj pokazać, że jeśli \(q,p\) są przemienne, to \(q,p^{-1}\) są przemienne.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Grupa przemienna

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 23:45

Ogólnie to nie wiadomo, gdzie należą. Jeśli \(g_1,g_2 \in X\) to \(g_1^{-1},g_2{-1}\) mogą należeć, albo do \(X\), albo do \(\left\langle X\right\rangle\).

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Re: Grupa przemienna

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 23:54

Wiadomo, że należą do \(\left\langle X \right\rangle\).
Ostatnio zmieniony 9 lis 2017, o 01:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.

ODPOWIEDZ