Matematyka.pl

sprawdz czy ciag jest ograniczony z gory,z dolu,czy jest ograniczony?

\(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt[n]{2 ^{n} -1}}\)

Dzieki za kazda odp.

\(\displaystyle{ 2\ge \sqrt[n]{2^n-1}\ge 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\).
Umiesz to udowodnić?

ja zrobilem podobnie tj.

\(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }}\)

i potem wychodzi

\(\displaystyle{ 0 \le a _{n} \le 4}\)

Ty zrobiles to doklaniej ale zastanawialem sie czy nie istnieje jakas uniwersalna metoda tzn tutaj musze jakby na to wpasc co moze sie nie zawsze udac. A jest lepszy sposob np jak wykozystac ze ciag jest zbieżny?

Uniwersalnej metody raczej nie ma. No tak, gdybyś udowodnił, że ten ciąg jest zbieżny (tj. ma granicę właściwą), co też nie jest trudne, to z automatu wiesz, że ciąg ten jest też ograniczony (aczkolwiek oczywiście istnieją ograniczone ciągi niezbieżne).

spejson_ pisze:ja zrobilem podobnie tj.

\(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }}\)

i potem wychodzi

\(\displaystyle{ 0 \le a _{n} \le 4}\)

Ten tekst sugeruje, że \(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }=2+2=4}\)

Mam nadzieję, że wiesz ze to nieprawda.

a4karo pisze:

spejson_ pisze:ja zrobilem podobnie tj.

\(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }}\)

i potem wychodzi

\(\displaystyle{ 0 \le a _{n} \le 4}\)

Ten tekst sugeruje, że \(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }=2+2=4}\)

Mam nadzieję, że wiesz ze to nieprawda.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^n + 2^n} = \sqrt[n]{2*2^n} = \sqrt[n]{2^n}*\sqrt[n]{2} = 2*\sqrt[n]{2}}\) no i to jest maksymalnie rowne 4 ( tak mi sie wydaje) tzn gdzie popelnilem blad?

Nigdzie.