surjekcje, injekcje, relacje
: 5 lis 2017, o 00:50
Mam kilka zadań, których nie potrafię zrobic.
Proszę o pomoc, wytłumaczenie jak zrobić zadania.
1. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \left( A _{i} \right) _{i \in \mathbb{N}} oraz \left( B _{i} \right) _{i \in \mathbb{N}}}\) są zstępującymi ciągami zbiorów ( \(\displaystyle{ ( \left A _{i})_{i \in \mathbb{N}} \right}\) jest zstępujący, jeżeli \(\displaystyle{ A _{0} \supset A _{1}\supset A _{2} ... \supset A _{n} ...}\)), to:
\(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{+ \infty }\left( A_{i} \cup B_{i}\right) = \left( \bigcap_{i=1}^{+ \infty }A_{i} \right) \cup \left( \bigcap_{i=1}^{+ \infty }B_{i} \right)}\)
2.Znaleźć przykład 5-elementowej relacji symetrycznej w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\). Czy istnieje 5-elementowa relacja zwrotna w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)? A 5-elementowa relacja przechodnia?
3. Czy podana relacja jest relacją porządku czy równoważności? Jeśli tak, to wypisać jej klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \left( 1\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{N} ^{2}, \left( a,b\right)R\left( m,n\right) \Leftrightarrow a+m=n+b}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0\right\}, \left( a,b\right)R\left(n,m \right) \Leftrightarrow am=nb}\)
4.Niech \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) i niech \(\displaystyle{ D}\) będzie ustalonym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\). Sprawdzić, że
\(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right),x,y \in X}\)
jest relacją równoważności w \(\displaystyle{ X}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ X/S}\).
5.Niech \(\displaystyle{ A _{t}:=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2} | y=tx^{3} \right\}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \mathbb{R}}^{}A _{t} , \bigcap_{t \in \mathbb{R}}^{}A_{t}}\).
6. Udowodnić, dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), f jest surjekcją na \(\displaystyle{ Y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
\(\displaystyle{ f^{-1} : \rho\left( Y\right)\ni B \rightarrow f^{-1}\left( B\right) \in \rho\left( X\right)}\)
jest injekcją.
7. Niech \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) i dowolnych \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\) zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f \Rightarrow g=h}\).
8. Podać przykład funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}\), takiej, że przeciwobraz każdego zbiory jednoelementowego jest:
(a) dwuelementowy,
(b) nieskończony.
Proszę o pomoc, wytłumaczenie jak zrobić zadania.
1. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \left( A _{i} \right) _{i \in \mathbb{N}} oraz \left( B _{i} \right) _{i \in \mathbb{N}}}\) są zstępującymi ciągami zbiorów ( \(\displaystyle{ ( \left A _{i})_{i \in \mathbb{N}} \right}\) jest zstępujący, jeżeli \(\displaystyle{ A _{0} \supset A _{1}\supset A _{2} ... \supset A _{n} ...}\)), to:
\(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{+ \infty }\left( A_{i} \cup B_{i}\right) = \left( \bigcap_{i=1}^{+ \infty }A_{i} \right) \cup \left( \bigcap_{i=1}^{+ \infty }B_{i} \right)}\)
2.Znaleźć przykład 5-elementowej relacji symetrycznej w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\). Czy istnieje 5-elementowa relacja zwrotna w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)? A 5-elementowa relacja przechodnia?
3. Czy podana relacja jest relacją porządku czy równoważności? Jeśli tak, to wypisać jej klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \left( 1\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{N} ^{2}, \left( a,b\right)R\left( m,n\right) \Leftrightarrow a+m=n+b}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0\right\}, \left( a,b\right)R\left(n,m \right) \Leftrightarrow am=nb}\)
4.Niech \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) i niech \(\displaystyle{ D}\) będzie ustalonym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\). Sprawdzić, że
\(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right),x,y \in X}\)
jest relacją równoważności w \(\displaystyle{ X}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ X/S}\).
5.Niech \(\displaystyle{ A _{t}:=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2} | y=tx^{3} \right\}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \mathbb{R}}^{}A _{t} , \bigcap_{t \in \mathbb{R}}^{}A_{t}}\).
6. Udowodnić, dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), f jest surjekcją na \(\displaystyle{ Y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
\(\displaystyle{ f^{-1} : \rho\left( Y\right)\ni B \rightarrow f^{-1}\left( B\right) \in \rho\left( X\right)}\)
jest injekcją.
7. Niech \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) i dowolnych \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\) zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f \Rightarrow g=h}\).
8. Podać przykład funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}\), takiej, że przeciwobraz każdego zbiory jednoelementowego jest:
(a) dwuelementowy,
(b) nieskończony.