surjekcje, injekcje, relacje

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Julian1998 » 5 lis 2017, o 00:50

Mam kilka zadań, których nie potrafię zrobic.
Proszę o pomoc, wytłumaczenie jak zrobić zadania.

1. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \left( A _{i} \right) _{i \in \mathbb{N}} oraz \left( B _{i} \right) _{i \in \mathbb{N}}}\) są zstępującymi ciągami zbiorów ( \(\displaystyle{ ( \left A _{i})_{i \in \mathbb{N}} \right}\) jest zstępujący, jeżeli \(\displaystyle{ A _{0} \supset A _{1}\supset A _{2} ... \supset A _{n} ...}\)), to:

\(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{+ \infty }\left( A_{i} \cup B_{i}\right) = \left( \bigcap_{i=1}^{+ \infty }A_{i} \right) \cup \left( \bigcap_{i=1}^{+ \infty }B_{i} \right)}\)

2.Znaleźć przykład 5-elementowej relacji symetrycznej w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\). Czy istnieje 5-elementowa relacja zwrotna w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)? A 5-elementowa relacja przechodnia?

3. Czy podana relacja jest relacją porządku czy równoważności? Jeśli tak, to wypisać jej klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \left( 1\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{N} ^{2}, \left( a,b\right)R\left( m,n\right) \Leftrightarrow a+m=n+b}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0\right\}, \left( a,b\right)R\left(n,m \right) \Leftrightarrow am=nb}\)

4.Niech \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) i niech \(\displaystyle{ D}\) będzie ustalonym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\). Sprawdzić, że
\(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right),x,y \in X}\)
jest relacją równoważności w \(\displaystyle{ X}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ X/S}\).

5.Niech \(\displaystyle{ A _{t}:=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2} | y=tx^{3} \right\}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \mathbb{R}}^{}A _{t} , \bigcap_{t \in \mathbb{R}}^{}A_{t}}\).

6. Udowodnić, dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), f jest surjekcją na \(\displaystyle{ Y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
\(\displaystyle{ f^{-1} : \rho\left( Y\right)\ni B \rightarrow f^{-1}\left( B\right) \in \rho\left( X\right)}\)
jest injekcją.

7. Niech \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) i dowolnych \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\) zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f \Rightarrow g=h}\).

8. Podać przykład funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}\), takiej, że przeciwobraz każdego zbiory jednoelementowego jest:
(a) dwuelementowy,
(b) nieskończony.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 01:01 przez Julian1998, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 00:57

Leniom nie pomagamy. Nic nie nauczyły Cię moje uwagi z Twojego innego tematu. Musisz pokazać, co zrobiłeś i na czym stanąłeś. Inaczej nie uzyskasz pomocy. To nie jest forum darmowych korepetycji, ale miejsce, gdzie wolontariusze pomagają osobom chcącym się czegoś nauczyć, ale nie mieć podane na talerzu, o co prosisz. Tak niczego nie pojmiesz.

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Julian1998 » 5 lis 2017, o 01:03

szw1710 pisze:Leniom nie pomagamy. Nic nie nauczyły Cię moje uwagi z Twojego innego tematu. Musisz pokazać, co zrobiłeś i na czym stanąłeś. Inaczej nie uzyskasz pomocy. To nie jest forum darmowych korepetycji, ale miejsce, gdzie wolontariusze pomagają osobom chcącym się czegoś nauczyć, ale nie mieć podane na talerzu, o co prosisz. Tak niczego nie pojmiesz.
Dobrze, a więc proszę o wytłumaczenie naprowadzenie jak zrobić zadanie.
Próbowałem robić zadania, ale nie rozumiem tego.
Nie mogę znaleźć w internecie ani w książkach jak zrobić te zadania, a chciałbym się nauczyć rozwiązywać różne zadania takie. Proszę o pomoc.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 01:07

Teraz już idę spać. Wrócę do wskazówek po południu.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15210
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Premislav » 5 lis 2017, o 01:12

Pełne rozwiązania? Ile płacisz? A może zapłata w naturze? ( ͡° ͜ʖ ͡° ) Już nie mogę się doczekać.

Zadanie 8.
a) \(\displaystyle{ f(n)=\left\lfloor \frac n 2\right\rfloor}\), wówczas \(\displaystyle{ f^{-1}\left( \left\{ k\right\} \right) =\left\{ 2k, 2k+1\right\}, \ k=0,1,2\ldots}\)
b) \(\displaystyle{ f(n)= \begin{cases}v_2(n), \text{ gdy }n=1,2\ldots \\0, \text{ gdy } n=0 \end{cases}}\),
gdzie \(\displaystyle{ v_2(n)}\) oznacza wykładnik, z jakim liczba \(\displaystyle{ 2}\) wchodzi w rozkład liczby \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) na czynniki pierwsze. Wówczas np.
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ 0\right\} \right] =\left\{ 0\right\}\cup\left\{ 2k+1: k \in \NN\right\}}\)
itd. - chyba łatwo widać, że to działa.-- 5 lis 2017, o 02:23 --Ech, spóźniłem się z moim dennym żarcikiem, bo już edytowane. No niestety.
Moje żarty są jak mumia - nie dość, że suche, to jeszcze przede mną odkopał je jakiś Heinrich Schliemann od Egiptu.

krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 528
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 118 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: krl » 5 lis 2017, o 06:53

meta-wskazówka: To nie do końca jest tak, że tutaj "leniom się nie pomaga". Ludzie, którzy piszą tu rozwiązania, zwyczajnie to lubią, więc trudno im się pohamować. By skłonić ich do podania pełnego rozwiązania, należy:
a) Dawkować zadania: jedno zadanie w jednym poście (no, maksymalnie dwa).
b) Prośbę formułować tak: po treści zadania wkleić prośbę, taką od serca, typu: dużo myślałem, ale nic nie wychodzi, proszę o wskazówkę (nie wolno wprost prosić o pełne rozwiązanie).
Wtedy zazwyczaj złowiony w ten sposób "jeleń" łyka haczyk i pisze wskazówkę.
c) Po zapoznaniu się ze wskazówką należy napisać coś takiego: myślałem dużo o wskazówce, ale dalej nie wychodzi, proszę o więcej szczegółów (można taki post okrasić przeformułowaniem wskazówki, by go uwiarygodnić). Zazwyczaj to wystarcza do sprowokowania podania pełnego rozwiązania.
d) No i już "po" trzeba podziękować (poprzez kliknięcie "pomógł").

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 824
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 54 razy

surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Jakub Gurak » 5 lis 2017, o 12:19

[quote="Julian1998"] 3. Czy podana relacja jest relacją porządku czy równoważności? Jeśli tak, to wypisać jej klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \left( 1\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{N} ^{2}, \left( a,b\right)R\left( m,n\right) \Leftrightarrow a+m=n+b}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\right) \left( a,b\right),\left( n,m\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0\right\}, \left( a,b\right)R\left(n,m \right) \Leftrightarrow am=nb}\)[/quote]Zauważ, że warunek jest równoważny \(\displaystyle{ \left( a,b\right)R\left( n,m\right) \Leftrightarrow a+m=n+b \Longleftrightarrow a-b=n-m}\), czyli gdy pary liczb naturalnych wyznaczają te same różnice.

Podobnie druga relacja łączy te pary liczb całkowitych, które dają ten sam iloraz. Będą to relacje równoważności, udowodnij to. Ja teraz spróbuję udowodnić, aby wykazać, że nie są to relacje porządku, że

dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ X}\), zbiór wszystkich relacji równoważności na \(\displaystyle{ X}\), które jednocześnie są relacjami porządku na \(\displaystyle{ X}\) , jest zbiorem jednoelementowym złożonym z relacji identyczności.

Dowód:

Identyczność na \(\displaystyle{ X}\), niewątpliwie jest relacją równoważności, i jest relacją porządku. Pokażemy teraz prosto, że innych relacji o takich własnościach nie ma. W tym celu, ustalmy dowolny porządek na \(\displaystyle{ X}\), nie będący identycznością. Oznacza to, że zawiera on parę \(\displaystyle{ \left( x,y \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \neq y}\). Gdyby był on relacją równoważności, to z symetrii dostalibyśmy, że relacja zawiera parę \(\displaystyle{ \left( y,x \right)}\), i z antysymetrii porządku dostajemy \(\displaystyle{ x=y}\). Jest to sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ x \neq y}\). Wobec czego innych relacji o takich własnościach nie ma, co kończy dowód. \(\displaystyle{ \square}\) :lol: :lol:

Wracając do zadania, ponieważ omawiane relacje są relacjami równoważności, więc gdyby były relacjami porządku, to musiałyby być identycznością, a łatwo sprawdzić że nie są, wobec czego nie są również relacjami porządku. :lol: [quote]4.Niech \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) i niech \(\displaystyle{ D}\) będzie ustalonym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\). Sprawdzić, że
\(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right),x,y \in X}\)
jest relacją równoważności w \(\displaystyle{ X}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ X/S}\).[/quote] Jeśli \(\displaystyle{ D=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in \emptyset\right)\Longleftrightarrow \left( x=y\right)}\), a więc jest to po prostu relacja równości, a więc jest relacją równoważności, i \(\displaystyle{ X _{/S} =\left\{ \left\{ x\right\}\Bigl| \ \ x\in X\right\}}\).

Dalej więc, niech \(\displaystyle{ D \neq \emptyset}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ x=x}\), a więc \(\displaystyle{ xSx}\). Relacja jest więc zwrotna.
Aby dowieść symetrii, weźmy \(\displaystyle{ x,y\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ xSy}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ ySx}\). Czyli, chcemy pokazać, że
\(\displaystyle{ \left( y=x\right) \vee \left( y,x \in D\right)}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ xSy}\), więc jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ y=x}\), a jeśli \(\displaystyle{ x,y \in D}\), to \(\displaystyle{ y,x \in D}\). W obydwu przypadkach, cała alternatywa jest spełniona, i \(\displaystyle{ ySx}\), relacja jest więc symetryczna.
Aby dowieść przechodniość, weźmy \(\displaystyle{ x,y,z\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ xSy}\) i \(\displaystyle{ ySz}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ xSz}\).
Warunek \(\displaystyle{ ySz}\), oznacza, że: \(\displaystyle{ \left( y=z\right) \vee \left( y,z \in D\right)}\). Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ xSz}\), a więc, że \(\displaystyle{ \left( x=z\right) \vee \left( x,z \in D\right)}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ xSy}\) i \(\displaystyle{ ySz}\), więc rozpatrujemy 4 przypadki ( ze względu na alternatywę w definicjach tych relacji):

1. \(\displaystyle{ x=y, y=z.}\)
2. \(\displaystyle{ x=y; y,z\in D.}\)
3.\(\displaystyle{ x,y\in D; y=z.}\)
4. \(\displaystyle{ x,y\in D; y,z\in D.}\)

W każdym z przypadków, rozumowanie jest natychmiastowe, dla przykładu 2.: jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), i \(\displaystyle{ y,z\in D}\), to \(\displaystyle{ x=y \in D}\), więc \(\displaystyle{ x,z \in D}\), czyli \(\displaystyle{ xSz}\). Resztę zrób sam. Będzie to oznaczało, że relacja jest przechodnia, i jest relacją równoważności.

Jeśli \(\displaystyle{ x\in D}\), to \(\displaystyle{ \left[ x\right] _{S}=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right)\right\} = D.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in D}\), to \(\displaystyle{ \left[ x\right] _{S}=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right)\right\} = \left\{ x\right\}}\). Bowiem pozostaje nam tylko warunek \(\displaystyle{ x=y}\), bo w tym przypadku z założenia \(\displaystyle{ x\not\in D}\). Zatem \(\displaystyle{ X _{/S} = \left\{ D\right\} \cup \left\{ \left\{ x\right\}\Bigl| \ \ x\in X \setminus D\right\}}\).
[quote]6. Udowodnić, dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), f jest surjekcją na \(\displaystyle{ Y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
\(\displaystyle{ f^{-1} : P\left( Y\right)\ni B \rightarrow f^{-1}\left( B\right) \in P\left( X\right)}\)
jest injekcją.

7. Niech \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) i dowolnych \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\) zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f \Rightarrow g=h}\). [/quote] Trzeba porozważać... Przede wszystkim dzielisz równoważność na dwie implikację, i każdą oddzielnie dowodzisz. Weźmy 7., \(\displaystyle{ \rightarrow}\) -wynikanie w prawo.

Chcemy pokazać, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\), i dowolnych funkcji \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\), takich, że: \(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f}\), zachodzi \(\displaystyle{ g=h}\).
Weźmy taki zbiór \(\displaystyle{ C}\), oraz dowolne takie funkcje \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ g=h}\). Niech \(\displaystyle{ b\in B.}\) Ale przypominam, nasze podstawowe założenie jest takie, że \(\displaystyle{ f}\) jest 'na' zbiór \(\displaystyle{ B}\), wobec czego element \(\displaystyle{ b\in B}\) jest wartością funkcji jakiegoś elementu \(\displaystyle{ a\in A.}\) Czyli \(\displaystyle{ f \left( a\right) =b}\). Ale ponieważ \(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f}\), więc dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in A}\), mamy \(\displaystyle{ g\left( f \left( x\right) \right) =\left( g \circ f \right) \left( x\right) =\left( h \circ f \right) \left( x\right) =h\left( f \left( x\right) \right)}\). Więc w szczególności \(\displaystyle{ g\left( f \left( a\right) \right) = h\left( f \left( a\right) \right)}\), i ponieważ \(\displaystyle{ f \left( a\right) =b}\), to \(\displaystyle{ g\left( b \right) = h\left( b \right)}\), co wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ b\in B}\), oznacza, że \(\displaystyle{ g=h}\). \(\displaystyle{ \square}\) :lol:

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Julian1998 » 5 lis 2017, o 17:28

[quote="Jakub Gurak"]Zauważ, że warunek jest równoważny \(\displaystyle{ \left( a,b\right)R\left( n,m\right) \Leftrightarrow a+m=n+b \Longleftrightarrow a-b=n-m}\), czyli gdy pary liczb naturalnych wyznaczają te same różnice.

Podobnie druga relacja łączy te pary liczb całkowitych, które dają ten sam iloraz. Będą to relacje równoważności, udowodnij to. Ja teraz spróbuję udowodnić, aby wykazać, że nie są to relacje porządku, że

dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ X}\), zbiór wszystkich relacji równoważności na \(\displaystyle{ X}\), które jednocześnie są relacjami porządku na \(\displaystyle{ X}\) , jest zbiorem jednoelementowym złożonym z relacji identyczności.

Dowód:

Identyczność na \(\displaystyle{ X}\), niewątpliwie jest relacją równoważności, i jest relacją porządku. Pokażemy teraz prosto, że innych relacji o takich własnościach nie ma. W tym celu, ustalmy dowolny porządek na \(\displaystyle{ X}\), nie będący identycznością. Oznacza to, że zawiera on parę \(\displaystyle{ \left( x,y \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \neq y}\). Gdyby był on relacją równoważności, to z symetrii dostalibyśmy, że relacja zawiera parę \(\displaystyle{ \left( y,x \right)}\), i z antysymetrii porządku dostajemy \(\displaystyle{ x=y}\). Jest to sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ x \neq y}\). Wobec czego innych relacji o takich własnościach nie ma, co kończy dowód. \(\displaystyle{ \square}\) :lol: :lol: [/quote]


Dziękuję rozumiem już o co chodzi. Bardzo mi pomogłeś :)
[quote]
Jeśli \(\displaystyle{ D=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in \emptyset\right)\Longleftrightarrow \left( x=y\right)}\), a więc jest to po prostu relacja równości, a więc jest relacją równoważności, i \(\displaystyle{ X _{/S} =\left\{ \left\{ x\right\}\Bigl| \ \ x\in X\right\}}\).

Dalej więc, niech \(\displaystyle{ D \neq \emptyset}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ x=x}\), a więc \(\displaystyle{ xSx}\). Relacja jest więc zwrotna.
Aby dowieść symetrii, weźmy \(\displaystyle{ x,y\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ xSy}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ ySx}\). Czyli, chcemy pokazać, że
\(\displaystyle{ \left( y=x\right) \vee \left( y,x \in D\right)}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ xSy}\), więc jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ y=x}\), a jeśli \(\displaystyle{ x,y \in D}\), to \(\displaystyle{ y,x \in D}\). W obydwu przypadkach, cała alternatywa jest spełniona, i \(\displaystyle{ ySx}\), relacja jest więc symetryczna.
Aby dowieść przechodniość, weźmy \(\displaystyle{ x,y,z\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ xSy}\) i \(\displaystyle{ ySz}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ xSz}\).
Warunek \(\displaystyle{ ySz}\), oznacza, że: \(\displaystyle{ \left( y=z\right) \vee \left( y,z \in D\right)}\). Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ xSz}\), a więc, że \(\displaystyle{ \left( x=z\right) \vee \left( x,z \in D\right)}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ xSy}\) i \(\displaystyle{ ySz}\), więc rozpatrujemy 4 przypadki ( ze względu na alternatywę w definicjach tych relacji):

1. \(\displaystyle{ x=y, y=z.}\)
2. \(\displaystyle{ x=y; y,z\in D.}\)
3.\(\displaystyle{ x,y\in D; y=z.}\)
4. \(\displaystyle{ x,y\in D; y,z\in D.}\)

W każdym z przypadków, rozumowanie jest natychmiastowe, dla przykładu 2.: jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), i \(\displaystyle{ y,z\in D}\), to \(\displaystyle{ x=y \in D}\), więc \(\displaystyle{ x,z \in D}\), czyli \(\displaystyle{ xSz}\). Resztę zrób sam. Będzie to oznaczało, że relacja jest przechodnia, i jest relacją równoważności.

Jeśli \(\displaystyle{ x\in D}\), to \(\displaystyle{ \left[ x\right] _{S}=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right)\right\} = D.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in D}\), to \(\displaystyle{ \left[ x\right] _{S}=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ \left( x=y\right) \vee \left( x,y \in D\right)\right\} = \left\{ x\right\}}\). Bowiem pozostaje nam tylko warunek \(\displaystyle{ x=y}\), bo w tym przypadku z założenia \(\displaystyle{ x\not\in D}\). Zatem \(\displaystyle{ X _{/S} = \left\{ D\right\} \cup \left\{ \left\{ x\right\}\Bigl| \ \ x\in X \setminus D\right\}}\).[/quote]

Bardzo dziękuję, tutaj też po Twoim rozwiązaniu rozumiem o co chodzi w takich zadaniach. :)
[quote]
Trzeba porozważać... Przede wszystkim dzielisz równoważność na dwie implikację, i każdą oddzielnie dowodzisz. Weźmy 7., \(\displaystyle{ \rightarrow}\) -wynikanie w prawo.

Chcemy pokazać, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\), i dowolnych funkcji \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\), takich, że: \(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f}\), zachodzi \(\displaystyle{ g=h}\).
Weźmy taki zbiór \(\displaystyle{ C}\), oraz dowolne takie funkcje \(\displaystyle{ g,h: B \rightarrow C}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ g=h}\). Niech \(\displaystyle{ b\in B.}\) Ale przypominam, nasze podstawowe założenie jest takie, że \(\displaystyle{ f}\) jest 'na' zbiór \(\displaystyle{ B}\), wobec czego element \(\displaystyle{ b\in B}\) jest wartością funkcji jakiegoś elementu \(\displaystyle{ a\in A.}\) Czyli \(\displaystyle{ f \left( a\right) =b}\). Ale ponieważ \(\displaystyle{ g \circ f = h \circ f}\), więc dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in A}\), mamy \(\displaystyle{ g\left( f \left( x\right) \right) =\left( g \circ f \right) \left( x\right) =\left( h \circ f \right) \left( x\right) =h\left( f \left( x\right) \right)}\). Więc w szczególności \(\displaystyle{ g\left( f \left( a\right) \right) = h\left( f \left( a\right) \right)}\), i ponieważ \(\displaystyle{ f \left( a\right) =b}\), to \(\displaystyle{ g\left( b \right) = h\left( b \right)}\), co wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ b\in B}\), oznacza, że \(\displaystyle{ g=h}\). \(\displaystyle{ \square}\) :lol:
[/quote]

Rozumiem dzięki Tobie !

Napisałeś też, aby zadanie 6 implikacje w dwie strony udowodnić, jednak mam trudności z zadaniami z suriekcją i injekcją, mógłbyś pokazać w jaki sposób zacząć to robić?

Jeśli ktoś może to proszę o pomoc w zadaniach 1,2,5,6 i 8.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Jan Kraszewski » 5 lis 2017, o 17:33

Julian1998 pisze:Napisałeś też, aby zadanie 6 implikacje w dwie strony udowodnić, jednak mam trudności z zadaniami z suriekcją i injekcją, mógłbyś pokazać w jaki sposób zacząć to robić?

Jeśli ktoś może to proszę o pomoc w zadaniach 1,2,5,6 i 8.
Widzę, że stosujesz się do rad krl-a...

Mimo wszystko uważam, że powinieneś sam spróbować, a nie tylko wdzięczyć się.

JK

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Julian1998 » 5 lis 2017, o 18:52

Jan Kraszewski,
Próbowałem je robić już wcześniej, ale nie potrafię wykonywać zadań tego typu a wykład na studiach poszedł już dalej i nie wiem gdzie znaleźć sposób, jak je rozwiązać, a bardzo bym chciał się nauczyć.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Jan Kraszewski » 5 lis 2017, o 19:00

Ale najlepsza metoda nauki to próby, nawet jeśli nie są na początku poprawne. Nauka przez oglądanie cudzych rozwiązań nie jest efektywna.

Weź np. zadanie 6 i spróbuj dowieść jedno wynikanie, albo chociaż zacząć.

JK

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Julian1998 » 5 lis 2017, o 20:39

Chodzi o to, że nie potrafię.
Najpierw trzeba nauczyć kogoś dodawać, co to jest dodawanie jak to sie robi, by potem mógł sam robić zadania z dodawaniem RÓŻNYCH liczb.
Tak samo ja nie widziałem nigdy jak się dowodzi surjekcje, injekcje bijekcje na takich elementarnych rzeczach. Tutaj chodzi o zapis, o symbolikę, o różne "znaczki", których trzeba użyć dużo by opisać rzecz wiadomą.
Trudno mi wymyślić dowód patrząc na same "znaczki", nie mam wprawy, nie rozumiem do końca tego wszystkiego. Próbuje się nauczyć jak tworzyć dowody do takich rzeczy i dlatego chcę przykładów.
Jeśli nie może mi nikt pomóc, to proszę jeśli znacie jakieś strony internetowe lub miejsce gdzie mógłbym się tego poduczyć, pokażcie mi

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: surjekcje, injekcje, relacje

Post autor: Jan Kraszewski » 5 lis 2017, o 20:51

W takiej sytuacji samo oglądanie dowodów Ci nie pomoże (choć może Jakub Gurak jeszcze coś Ci napisze). Przede wszystkim dlatego, że nowych dowodów nie da robić się bez zrozumienia przez naśladowanie starych.

Kup sobie podręcznik, idź na konsultacje, może znajdź korepetytora albo kolegę/koleżankę z roku, którzy Ci pomogą. To forum nie zastępuje wykładu, służy tylko pomocą w dochodzeniu do zrozumienia, ale oczekuje współudziału.

Wiele osób jest w sytuacji podobnej do Ciebie, jedni próbują rozwiązywać zadania, inni proszą o gotowe rozwiązania. Tym pierwszym zazwyczaj łatwiej jest dostać tutaj pomoc.

JK

ODPOWIEDZ