Matematyka.pl

Wyznacz takie dodatnie liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dla których wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2} + 3a - 3b}\) jest równa \(\displaystyle{ 22}\).

\(\displaystyle{ (a-b)(a+b) + 3(a-b) =22 \\
(a-b)(a+b+3) = 22}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ 22}\), to jest \(\displaystyle{ 11}\) razy \(\displaystyle{ 2}\). Czy mogę założyć, że drugi nawias musi się równać \(\displaystyle{ 11}\), a pierwszy \(\displaystyle{ 2}\)? Bo skoro mają być dodatnie i naturalne, to iloczyn może składać się tylko z dwóch liczb. Oraz, to że \(\displaystyle{ a>b}\).

\(\displaystyle{ a+b +3 = 11 \\
a+b = 8 \\
a-b = 2,\mbox{ czyli }a = 2 + b \\
2+ b + b + 3 = 11 \\
2b = 6 \\
b = 3 \\
a = 5}\)


No i tak, mogę wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Jednak nie podoba mi się do końca to rozwiązanie. Mogę to zrobić jakoś ładniej?

Vademecum, Nowej Ery, Teraz matura, matematyka rozszerzona

Jeżeli wiesz że dla dodatnich całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\)
mamy
\(\displaystyle{ x \cdot y=22}\)
to mamy aż cztery możliwości
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=22 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\\ y=11 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=11 \\ y=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=22 \\ y=1 \end{cases}}\)

kmarciniak1 pisze:Jeżeli wiesz że dla dodatnich całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\)
mamy

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x \cdot y=22}\)
to mamy aż cztery możliwości
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=22 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\\ y=11 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=11 \\ y=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=22 \\ y=1 \end{cases}}\)

No tak, czyli również dochodzi możliwość a = 10, b = 9. Więc nie wiem jak to uzasadnić i jak rozwiązać tego typu zadanie, żeby żadnej możliwości nie pominąć. Da się jakoś moje równanie jeszcze rozpisać?

Zapomniałeś że \(\displaystyle{ 1 \cdot 22=22}\) więc będzie jeszcze inna możliwość. Poza tym trzeba sprawdzać kolejność

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-b=2 \\ a+b+3=11 \end{cases} \vee\begin{cases} a-b=11 \\ a+b+3=2\end{cases} \vee \begin{cases} a-b=1 \\ a+b+3=22 \end{cases} \vee \begin{cases} a-b=22 \\ a+b+3=1 \end{cases}}\)

Zadanie można zrobić inaczej.
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} + 3a - 3b=22}\)
to równanie okręgu. Jest więc skończenie wiele możliwości jakie trzeba było by sprawdzić. Wystarczy wstawiać kolejne liczby naturalne które znajdują się w odcinku który powstał by po zrzutowaniu tego okrąg na jedną z osi \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\). Rozwiązaniem będą oczywiście pary liczb naturalnych, jeśli jakaś liczba naturalne należy do odcinka ale nie jest przekształcana w naturalna to oczywiście takie rozwiązanie odpad.

To ja jeszcze spytam: miało być
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} + 3a - 3b}\), jak na początku napisał GeneralXavi, czy też może jednak
\(\displaystyle{ a ^{2} {\red -} b ^{2} + 3a - 3b}\), jak sugeruje próba rozwiązania?

Jeśli to drugie, to nie ma żadnego okręgu, jest hiperbola.
Co do rozwiązania, nic bardziej efektywnego niż to, co napisał kmarciniak1, nie przychodzi mi do głowy, pewnie o to chodziło.

Premislav powinien być minus. Mam poważny problem z poprawnym przepisywaniem przykładu, a sprawdzam 3 razy, wczoraj był podobny problem...
Więc, faktycznie. Nie ma równania okręgu, ale to zmyliłem Janusz Tracz przez moją nieuwagę, sorry.

I dziękuję za pomoc.