Wyznacz a i b

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
GeneralXavi

Wyznacz a i b

Post autor: GeneralXavi » 31 paź 2017, o 17:29

Wyznacz takie dodatnie liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dla których wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2} + 3a - 3b}\) jest równa \(\displaystyle{ 22}\).

\(\displaystyle{ (a-b)(a+b) + 3(a-b) =22 \\ (a-b)(a+b+3) = 22}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ 22}\), to jest \(\displaystyle{ 11}\) razy \(\displaystyle{ 2}\). Czy mogę założyć, że drugi nawias musi się równać \(\displaystyle{ 11}\), a pierwszy \(\displaystyle{ 2}\)? Bo skoro mają być dodatnie i naturalne, to iloczyn może składać się tylko z dwóch liczb. Oraz, to że \(\displaystyle{ a>b}\).

\(\displaystyle{ a+b +3 = 11 \\ a+b = 8 \\ a-b = 2,\mbox{ czyli }a = 2 + b \\ 2+ b + b + 3 = 11 \\ 2b = 6 \\ b = 3 \\ a = 5}\)


No i tak, mogę wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Jednak nie podoba mi się do końca to rozwiązanie. Mogę to zrobić jakoś ładniej?

Vademecum, Nowej Ery, Teraz matura, matematyka rozszerzona
Ostatnio zmieniony 31 paź 2017, o 18:15 przez GeneralXavi, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 167 razy

Wyznacz a i b

Post autor: kmarciniak1 » 31 paź 2017, o 17:37

Jeżeli wiesz że dla dodatnich całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\)
mamy
\(\displaystyle{ x \cdot y=22}\)
to mamy aż cztery możliwości
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=22 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\\ y=11 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=11 \\ y=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=22 \\ y=1 \end{cases}}\)

GeneralXavi

Re: Wyznacz a i b

Post autor: GeneralXavi » 31 paź 2017, o 17:42

kmarciniak1 pisze:Jeżeli wiesz że dla dodatnich całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\)
mamy
Ukryta treść:    


No tak, czyli również dochodzi możliwość a = 10, b = 9. Więc nie wiem jak to uzasadnić i jak rozwiązać tego typu zadanie, żeby żadnej możliwości nie pominąć. Da się jakoś moje równanie jeszcze rozpisać?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3141
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1068 razy

Re: Wyznacz a i b

Post autor: Janusz Tracz » 31 paź 2017, o 17:43

Zapomniałeś że \(\displaystyle{ 1 \cdot 22=22}\) więc będzie jeszcze inna możliwość. Poza tym trzeba sprawdzać kolejność

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-b=2 \\ a+b+3=11 \end{cases} \vee\begin{cases} a-b=11 \\ a+b+3=2\end{cases} \vee \begin{cases} a-b=1 \\ a+b+3=22 \end{cases} \vee \begin{cases} a-b=22 \\ a+b+3=1 \end{cases}}\)

Zadanie można zrobić inaczej.
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} + 3a - 3b=22}\)
to równanie okręgu. Jest więc skończenie wiele możliwości jakie trzeba było by sprawdzić. Wystarczy wstawiać kolejne liczby naturalne które znajdują się w odcinku który powstał by po zrzutowaniu tego okrąg na jedną z osi \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\). Rozwiązaniem będą oczywiście pary liczb naturalnych, jeśli jakaś liczba naturalne należy do odcinka ale nie jest przekształcana w naturalna to oczywiście takie rozwiązanie odpad.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Wyznacz a i b

Post autor: Premislav » 31 paź 2017, o 18:10

To ja jeszcze spytam: miało być
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} + 3a - 3b}\), jak na początku napisał GeneralXavi, czy też może jednak
\(\displaystyle{ a ^{2} {\red -} b ^{2} + 3a - 3b}\), jak sugeruje próba rozwiązania?

Jeśli to drugie, to nie ma żadnego okręgu, jest hiperbola.
Co do rozwiązania, nic bardziej efektywnego niż to, co napisał kmarciniak1, nie przychodzi mi do głowy, pewnie o to chodziło.

GeneralXavi

Re: Wyznacz a i b

Post autor: GeneralXavi » 31 paź 2017, o 18:17

Premislav powinien być minus. Mam poważny problem z poprawnym przepisywaniem przykładu, a sprawdzam 3 razy, wczoraj był podobny problem...
Więc, faktycznie. Nie ma równania okręgu, ale to zmyliłem Janusz Tracz przez moją nieuwagę, sorry.

I dziękuję za pomoc.

ODPOWIEDZ