Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A_{ij} = \left\{ x \in \RR : \frac{ (-1)^{i} }{j} \le x \le i + \frac{1}{ j } \right\}}\)
Wyznaczyć:
\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcup_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{\infty } \bigcap_{j=1}^{\infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcap_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{ \infty } \bigcup_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{j=1}^{ \infty } \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{j=1}^{ \infty } \bigcap_{i=1}^{ \infty }A_{ij}}\)

Moje odpowiedzi po kolei:
\(\displaystyle{ [-1, + \infty), \left\{ 1\right\} , [0,+\infty), (0,2], [0,+\infty), (0,2]}\)

Podejrzewam, że zrobiłem źle, ponieważ wyszły mi te same zbiory po zamianie kolejności sumy i przekroju. Nie potrafię sobie jednak w tym zadaniu wyobrazić czym te zbiory mogłyby się różnić.
Proszę o jakieś wskazówki ewentualnie prosty przykład, w którym taka zmiana kolejności wpływa na wynik, żebym mógł to sobie lepiej poukładać w głowie.

Spróbuj na przykładzie \(\displaystyle{ A_{ij} = \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq j \}}\).

Rozwiązanie:

adri@n pisze:\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{i=1}^\infty \bigcap\limits_{j=1}^\infty A_{ij} = \bigcup\limits_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq 1 \}\red = (-\infty, 1]}\)

To akurat nieprawda.

adri@n pisze:\(\displaystyle{ igcaplimits_{i=1}^infty igcuplimits_{j=1}^infty A_{ij}= igcap_{i=1}^infty {xin mathbb{R} : i leq x < infty}
ed = [1,infty)}\)

I to też nieprawda.

Poza tym RCCK chodziło o inną zmianę kolejności.

RCCK pisze:Moje odpowiedzi po kolei:
\(\displaystyle{ [-1, + \infty), \left\{ 1\right\} , [0,+\infty), (0,2], [0,+\infty), (0,2]}\)

I to są dobre odpowiedzi.

JK

Ok, dziękuję za sprawdzenie.

Jan Kraszewski pisze: To akurat nieprawda.

I to też nieprawda.

Ajjj, nie ta nieskończoność...

Jan Kraszewski pisze: Poza tym RCCK chodziło o inną zmianę kolejności.

Źle zrozumiałem problem.

adri@n pisze:Ajjj, nie ta nieskończoność...

W ogóle żadna nieskończoność, bo

\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{i=1}^\infty \bigcap\limits_{j=1}^\infty A_{ij} = \bigcup\limits_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq 1 \}=\{1\}}\)

\(\displaystyle{ \bigcap\limits_{i=1}^\infty \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_{ij}= \bigcap_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x < \infty\}=\emptyset}\)

RCCK, zauważ, że zawsze zachodzi zawieranie

\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcap_{j=1}^{ \infty }A_{ij} \subseteq \bigcap_{j=1}^{ \infty } \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{ij}.}\)

JK