Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
RCCK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)

Post autor: RCCK » 30 paź 2017, o 15:01

Niech \(\displaystyle{ A_{ij} = \left\{ x \in \RR : \frac{ (-1)^{i} }{j} \le x \le i + \frac{1}{ j } \right\}}\)
Wyznaczyć:
\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcup_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{\infty } \bigcap_{j=1}^{\infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcap_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{ \infty } \bigcup_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{j=1}^{ \infty } \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{j=1}^{ \infty } \bigcap_{i=1}^{ \infty }A_{ij}}\)

Moje odpowiedzi po kolei:
\(\displaystyle{ [-1, + \infty), \left\{ 1\right\} , [0,+\infty), (0,2], [0,+\infty), (0,2]}\)

Podejrzewam, że zrobiłem źle, ponieważ wyszły mi te same zbiory po zamianie kolejności sumy i przekroju. Nie potrafię sobie jednak w tym zadaniu wyobrazić czym te zbiory mogłyby się różnić.
Proszę o jakieś wskazówki ewentualnie prosty przykład, w którym taka zmiana kolejności wpływa na wynik, żebym mógł to sobie lepiej poukładać w głowie.
Ostatnio zmieniony 30 paź 2017, o 15:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)

Post autor: adri@n » 30 paź 2017, o 16:07

Spróbuj na przykładzie \(\displaystyle{ A_{ij} = \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq j \}}\).

Rozwiązanie:
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27285
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4593 razy

Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)

Post autor: Jan Kraszewski » 30 paź 2017, o 16:33

adri@n pisze:\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{i=1}^\infty \bigcap\limits_{j=1}^\infty A_{ij} = \bigcup\limits_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq 1 \}\red = (-\infty, 1]}\)
To akurat nieprawda.
adri@n pisze:\(\displaystyle{ igcaplimits_{i=1}^infty igcuplimits_{j=1}^infty A_{ij}= igcap_{i=1}^infty {xin mathbb{R} : i leq x < infty}
ed = [1,infty)}\)
I to też nieprawda.

Poza tym RCCK chodziło o inną zmianę kolejności.
RCCK pisze:Moje odpowiedzi po kolei:
\(\displaystyle{ [-1, + \infty), \left\{ 1\right\} , [0,+\infty), (0,2], [0,+\infty), (0,2]}\)
I to są dobre odpowiedzi.

JK

RCCK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)

Post autor: RCCK » 30 paź 2017, o 17:08

Ok, dziękuję za sprawdzenie.

adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)

Post autor: adri@n » 30 paź 2017, o 17:09

Jan Kraszewski pisze: To akurat nieprawda.

I to też nieprawda.
Ajjj, nie ta nieskończoność...
Jan Kraszewski pisze: Poza tym RCCK chodziło o inną zmianę kolejności.
Źle zrozumiałem problem.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27285
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4593 razy

Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)

Post autor: Jan Kraszewski » 30 paź 2017, o 17:22

adri@n pisze:Ajjj, nie ta nieskończoność...
W ogóle żadna nieskończoność, bo

\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{i=1}^\infty \bigcap\limits_{j=1}^\infty A_{ij} = \bigcup\limits_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq 1 \}=\{1\}}\)

\(\displaystyle{ \bigcap\limits_{i=1}^\infty \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_{ij}= \bigcap_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x < \infty\}=\emptyset}\)

RCCK, zauważ, że zawsze zachodzi zawieranie

\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcap_{j=1}^{ \infty }A_{ij} \subseteq \bigcap_{j=1}^{ \infty } \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{ij}.}\)

JK

ODPOWIEDZ