Niech \(\displaystyle{ A_{ij} = \left\{ x \in \RR : \frac{ (-1)^{i} }{j} \le x \le i + \frac{1}{ j } \right\}}\)
Wyznaczyć:
\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcup_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{\infty } \bigcap_{j=1}^{\infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcap_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{ \infty } \bigcup_{j=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{j=1}^{ \infty } \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{ij}}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{j=1}^{ \infty } \bigcap_{i=1}^{ \infty }A_{ij}}\)
Moje odpowiedzi po kolei:
\(\displaystyle{ [-1, + \infty), \left\{ 1\right\} , [0,+\infty), (0,2], [0,+\infty), (0,2]}\)
Podejrzewam, że zrobiłem źle, ponieważ wyszły mi te same zbiory po zamianie kolejności sumy i przekroju. Nie potrafię sobie jednak w tym zadaniu wyobrazić czym te zbiory mogłyby się różnić.
Proszę o jakieś wskazówki ewentualnie prosty przykład, w którym taka zmiana kolejności wpływa na wynik, żebym mógł to sobie lepiej poukładać w głowie.
Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)
-
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)
Ostatnio zmieniony 30 paź 2017, o 15:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)
To akurat nieprawda.adri@n pisze:\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{i=1}^\infty \bigcap\limits_{j=1}^\infty A_{ij} = \bigcup\limits_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq 1 \}\red = (-\infty, 1]}\)
I to też nieprawda.adri@n pisze:\(\displaystyle{ igcaplimits_{i=1}^infty igcuplimits_{j=1}^infty A_{ij}= igcap_{i=1}^infty {xin mathbb{R} : i leq x < infty}
ed = [1,infty)}\)
Poza tym RCCK chodziło o inną zmianę kolejności.
I to są dobre odpowiedzi.RCCK pisze:Moje odpowiedzi po kolei:
\(\displaystyle{ [-1, + \infty), \left\{ 1\right\} , [0,+\infty), (0,2], [0,+\infty), (0,2]}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)
Ajjj, nie ta nieskończoność...Jan Kraszewski pisze: To akurat nieprawda.
I to też nieprawda.
Źle zrozumiałem problem.Jan Kraszewski pisze: Poza tym RCCK chodziło o inną zmianę kolejności.
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczyć zbiory (działania ogólne)
W ogóle żadna nieskończoność, boadri@n pisze:Ajjj, nie ta nieskończoność...
\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{i=1}^\infty \bigcap\limits_{j=1}^\infty A_{ij} = \bigcup\limits_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x \leq 1 \}=\{1\}}\)
\(\displaystyle{ \bigcap\limits_{i=1}^\infty \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_{ij}= \bigcap_{i=1}^\infty \{x\in \mathbb{R} : i \leq x < \infty\}=\emptyset}\)
RCCK, zauważ, że zawsze zachodzi zawieranie
\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } \bigcap_{j=1}^{ \infty }A_{ij} \subseteq \bigcap_{j=1}^{ \infty } \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{ij}.}\)
JK