Równanie cyklometryczne
: 25 paź 2017, o 17:48
Mam do rozwiązania takie coś:
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \arccos (-x)}\)
Robię to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \pi - \arccos x}\)
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \arccos x = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \pi - \beta}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = x \Rightarrow \cos (\pi - \alpha) = x \Rightarrow -\cos \alpha = x}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = -\cos \alpha \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} + \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha = - \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2} = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x = - \frac{1}{2}}\)
A to łatwo obliczyć, że jest złym wynikiem. Co jest źle? Jestem zielony w równania cyklometryczne, jakby ktoś mi podpowiedział gdzie tu jest błąd oraz jakie założenia czy tożsamości warto stosować byłbym wdzięczny (znam tożsamości na sumowanie do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i na x ujemne). Robiąc różne zadania analogicznie wychodzą mi różne wyniki, które często muszę odrzucać przez zwyczajne podstawienie, bo nie umiem dopasować do nich żadnego założenia, które by im zabraniało być poprawnymi.
@Edit
Jeszcze jedno drobne pytanie przy okazji. Jeśli mam równanie w postaci \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{3}}\) to da się je jakoś rozpisać czy jedyne co mi pozostaje to zostawienie \(\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac{1}{3}}\) ?
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \arccos (-x)}\)
Robię to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \pi - \arccos x}\)
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \arccos x = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \pi - \beta}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = x \Rightarrow \cos (\pi - \alpha) = x \Rightarrow -\cos \alpha = x}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = -\cos \alpha \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} + \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha = - \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2} = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x = - \frac{1}{2}}\)
A to łatwo obliczyć, że jest złym wynikiem. Co jest źle? Jestem zielony w równania cyklometryczne, jakby ktoś mi podpowiedział gdzie tu jest błąd oraz jakie założenia czy tożsamości warto stosować byłbym wdzięczny (znam tożsamości na sumowanie do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i na x ujemne). Robiąc różne zadania analogicznie wychodzą mi różne wyniki, które często muszę odrzucać przez zwyczajne podstawienie, bo nie umiem dopasować do nich żadnego założenia, które by im zabraniało być poprawnymi.
@Edit
Jeszcze jedno drobne pytanie przy okazji. Jeśli mam równanie w postaci \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{3}}\) to da się je jakoś rozpisać czy jedyne co mi pozostaje to zostawienie \(\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac{1}{3}}\) ?