Równanie cyklometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
AvaPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 lut 2016, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnica
Podziękował: 12 razy

Równanie cyklometryczne

Post autor: AvaPL » 25 paź 2017, o 17:48

Mam do rozwiązania takie coś:
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \arccos (-x)}\)

Robię to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \pi - \arccos x}\)
\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \arccos x = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \pi - \beta}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = x \Rightarrow \cos (\pi - \alpha) = x \Rightarrow -\cos \alpha = x}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = -\cos \alpha \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} + \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha = - \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2} = x\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x = - \frac{1}{2}}\)

A to łatwo obliczyć, że jest złym wynikiem. Co jest źle? Jestem zielony w równania cyklometryczne, jakby ktoś mi podpowiedział gdzie tu jest błąd oraz jakie założenia czy tożsamości warto stosować byłbym wdzięczny (znam tożsamości na sumowanie do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i na x ujemne). Robiąc różne zadania analogicznie wychodzą mi różne wyniki, które często muszę odrzucać przez zwyczajne podstawienie, bo nie umiem dopasować do nich żadnego założenia, które by im zabraniało być poprawnymi.

@Edit
Jeszcze jedno drobne pytanie przy okazji. Jeśli mam równanie w postaci \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{3}}\) to da się je jakoś rozpisać czy jedyne co mi pozostaje to zostawienie \(\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac{1}{3}}\) ?

Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Re: Równanie cyklometryczne

Post autor: kropka+ » 25 paź 2017, o 22:06

Dobrze przepisałeś?

\(\displaystyle{ \arcsin (x\sqrt{3}) = \arccos (-x)}\)

\(\displaystyle{ \alpha =\arcsin (x\sqrt{3}) \Rightarrow \alpha \in \left[ - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right]}\)

\(\displaystyle{ \alpha = \arccos (-x) \Rightarrow \alpha \in \left[ 0, \pi \right]}\)

Stąd \(\displaystyle{ \alpha \in \left[ 0, \frac{ \pi }{2} \right]}\) a wtedy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha =x \sqrt{3} \ge 0 \\ \cos \alpha =-x \ge 0 \end{cases}}\)

A ten układ równań jest sprzeczny.

AvaPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 lut 2016, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnica
Podziękował: 12 razy

Re: Równanie cyklometryczne

Post autor: AvaPL » 26 paź 2017, o 22:19

Tak, dobrze jest przepisane. Czyli jednak w zadaniu błąd. Już też widzę jakie założenia poczynić żeby się nie naliczyć. Dziękuję!

Mogę jeszcze liczyć na pomoc odnośnie końcówki pierwszego posta? Bo mam kilka zadań tego typu na liście do zrobienia i coś mi się nie widzi żeby można je było tak łatwo zrobić.

Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Re: Równanie cyklometryczne

Post autor: kropka+ » 27 paź 2017, o 00:48

Dodam jeszcze tylko, że gdyby nie warunek \(\displaystyle{ alpha in left[ 0, frac{ pi }{2} ight]}\) to Twoje rozwiązanie byłoby poprawne.

Jeśli chodzi o kolejne równanie to pamiętaj, że \(\displaystyle{ alpha =arcsin frac{1}{3} in left[ - frac{ pi }{2}, frac{ pi }{2} ight]}\). Natomiast kątów o sinusie równym \(\displaystyle{ frac{1}{3}}\) jest nieskończenie wiele.

\(\displaystyle{ sin alpha = frac{1}{3} Leftrightarrow alpha =left( arcsin frac{1}{3} ight) +2k pi vee alpha =left( pi -arcsin frac{1}{3} ight) +2k pi}\)

Poczytaj kompendium page.php?p=kompendium-funkcje-trygonometryczne Pod koniec jest sekcja Równania trygonometryczne. Dla nietypowych kątów w miejsce \(\displaystyle{ x _{0}}\) wstawiasz arcusa.

ODPOWIEDZ