Matematyka.pl

Witam mam troche problem z ogarnieciem zbieznosci jednostajnej i punktowej. Wiec tak: zeby policzyc zbieznosc punktowa to licze granice przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). majac taka funkcje licze granice (x jest z przedzialu \(\displaystyle{ [0; \infty ]}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{1+nx}=0}\)

Jednak dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ fn(x)=1}\)

i teraz obszar zbieznosci to tylko \(\displaystyle{ (0,+ \infty )}\) czy to zero też nalezy? Dla kazdego x z dziedziny ma wyjsc taka sama granica zeby byl sens liczyc granice jednostajna?

Teraz liczymy jednostajna:
\(\displaystyle{ \sup_{ x \in D }\left| fn(x)-f(x)\right|}\) - tutaj \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) i \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\). Rozpatrujemy 2 przypadki czy jak? Bo wlasnie tego nie rozumiem

pozniej przyrownalem pochodna do zera i wyszlo mi ze sup moze byc jeszcze w \(\displaystyle{ x= \frac{1}{ \sqrt{2}n }}\). I teraz wazne pytanie. Gdzie to podstawiamy? liczymy \(\displaystyle{ fn(x)}\) dla tej wartosci czy \(\displaystyle{ \left| fn(x)-f(x)\right|}\)?

Pytam bo czasami wychodzi \(\displaystyle{ f(x)=x}\) i wtedy beda rozne wartosc w \(\displaystyle{ fn(x)}\) i \(\displaystyle{ \left| fn(x)-f(x)\right|}\).

Czekam na odpowiedzi bo z liczeniem nie ma problemu tylko chce to ogarnac na 100%

Dla kazdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny ma wyjsc taka sama granica zeby byl sens liczyc granice jednostajna?

Granica jest w tym wypadku funkcją, więc nie do końca rozumiem to pytanie, albo niefortunnie się wyraziłeś, albo odpowiedź brzmi "nie".
Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych to funkcja ciągła (jest takie twierdzenie, możesz sobie wygooglować dowód). Więc gdy masz ciąg funkcji ciągłych na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) zbieżny punktowo do funkcji, która nie jest ciągła na całym \(\displaystyle{ A}\), to nie ma mowy o zbieżności jednostajnej tego ciągu funkcyjnego na \(\displaystyle{ A}\).
Przykładowo, gdy rozważymy choćby tę zbieżność jednostajną
\(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{1+nx}}\) w zbiorze \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), to po policzeniu granicy punktowej:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1+nx} = \begin{cases} 0 \text{ dla } x\in (0,+\infty) \\ 1 \text{ dla } x=0\end{cases}}\)
i stwierdzeniu, że dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) funkcja
\(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{1+nx}}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ [0,+infty)}\)
widzimy, ze ciąg \(\displaystyle{ (f_n)}\) nie jest zbieżny jednostajnie w \(\displaystyle{ [0,+infty)}\).
Co więcej, nie jest też zbieżny jednostajnie w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\), za to dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) jest już zbieżny jednostajnie w zbiorze \(\displaystyle{ [epsilon, +infty)}\).
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1+nx} =0}\), zatem jedyny kandydat na granicę jednostajną tego ciągu funkcyjnego w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) to \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\),
ponadto dla \(\displaystyle{ x>0, n \in \NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| f_n(x)-f(x)\right|= \left| \frac{1}{1+nx} \right|= \frac{1}{1+nx}}\)
Stąd i z zachowania \(\displaystyle{ \frac{1}{1+nx}}\), gdy \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) jest ustalone, zaś \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^+}\) już można się domyślać, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sup_{x\in (0,+\infty)}\left| f_n(x)-f(x)\right| \right)=1 >0}\), więc nie mamy tu zbieżności jednostajnej na \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\).