zbieżność jednostajna i punktowa

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 193
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 64 razy

zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: degel123 » 14 paź 2017, o 13:45

Witam mam troche problem z ogarnieciem zbieznosci jednostajnej i punktowej. Wiec tak: zeby policzyc zbieznosc punktowa to licze granice przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). majac taka funkcje licze granice (x jest z przedzialu \(\displaystyle{ [0; \infty ]}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{1+nx}=0}\)

Jednak dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ fn(x)=1}\)

i teraz obszar zbieznosci to tylko \(\displaystyle{ (0,+ \infty )}\) czy to zero też nalezy? Dla kazdego x z dziedziny ma wyjsc taka sama granica zeby byl sens liczyc granice jednostajna?

Teraz liczymy jednostajna:
\(\displaystyle{ \sup_{ x \in D }\left| fn(x)-f(x)\right|}\) - tutaj \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) i \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\). Rozpatrujemy 2 przypadki czy jak? Bo wlasnie tego nie rozumiem

pozniej przyrownalem pochodna do zera i wyszlo mi ze sup moze byc jeszcze w \(\displaystyle{ x= \frac{1}{ \sqrt{2}n }}\). I teraz wazne pytanie. Gdzie to podstawiamy? liczymy \(\displaystyle{ fn(x)}\) dla tej wartosci czy \(\displaystyle{ \left| fn(x)-f(x)\right|}\)?

Pytam bo czasami wychodzi \(\displaystyle{ f(x)=x}\) i wtedy beda rozne wartosc w \(\displaystyle{ fn(x)}\) i \(\displaystyle{ \left| fn(x)-f(x)\right|}\).

Czekam na odpowiedzi bo z liczeniem nie ma problemu tylko chce to ogarnac na 100%
Ostatnio zmieniony 14 paź 2017, o 13:56 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: Premislav » 14 paź 2017, o 16:41

Dla kazdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny ma wyjsc taka sama granica zeby byl sens liczyc granice jednostajna?
Granica jest w tym wypadku funkcją, więc nie do końca rozumiem to pytanie, albo niefortunnie się wyraziłeś, albo odpowiedź brzmi "nie".
Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych to funkcja ciągła (jest takie twierdzenie, możesz sobie wygooglować dowód). Więc gdy masz ciąg funkcji ciągłych na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) zbieżny punktowo do funkcji, która nie jest ciągła na całym \(\displaystyle{ A}\), to nie ma mowy o zbieżności jednostajnej tego ciągu funkcyjnego na \(\displaystyle{ A}\).
Przykładowo, gdy rozważymy choćby tę zbieżność jednostajną
\(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{1+nx}}\) w zbiorze \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), to po policzeniu granicy punktowej:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1+nx} = \begin{cases} 0 \text{ dla } x\in (0,+\infty) \\ 1 \text{ dla } x=0\end{cases}}\)
i stwierdzeniu, że dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) funkcja
\(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{1+nx}}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ [0,+infty)}\)
widzimy, ze ciąg \(\displaystyle{ (f_n)}\) nie jest zbieżny jednostajnie w \(\displaystyle{ [0,+infty)}\).
Co więcej, nie jest też zbieżny jednostajnie w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\), za to dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) jest już zbieżny jednostajnie w zbiorze \(\displaystyle{ [epsilon, +infty)}\).
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1+nx} =0}\), zatem jedyny kandydat na granicę jednostajną tego ciągu funkcyjnego w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) to \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\),
ponadto dla \(\displaystyle{ x>0, n \in \NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| f_n(x)-f(x)\right|= \left| \frac{1}{1+nx} \right|= \frac{1}{1+nx}}\)
Stąd i z zachowania \(\displaystyle{ \frac{1}{1+nx}}\), gdy \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) jest ustalone, zaś \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^+}\) już można się domyślać, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sup_{x\in (0,+\infty)}\left| f_n(x)-f(x)\right| \right)=1 >0}\), więc nie mamy tu zbieżności jednostajnej na \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\).

ODPOWIEDZ