Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie:
\(\displaystyle{ m log^{2}_{2}(x+1)-2m log_{2}(x+1)+m-4=0}\)
ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 3.

Bardzo proszę o podpowiedź co do założeń. Jak powinny one wyglądać ?

Z def. logarytmu : ( x + 1 ) > 0

Równanie kwadratowe - zastępcze - powinno mieć dwa pierwiastki dodatnie : delta >0 i wzory wiete`a.

Wychodzi, że m > 4. i jest to dobrze.
Ale nie wiem, czy nie jest to zbytnie uproszczenie i co by jeszcze sprawdzić.

Dlaczego dwa pierwiastki dodatnie ?

Rozumiem, że należy wstawić nową zmienną za logarytm ? Wstawiam i mam \(\displaystyle{ mt^{2} - 2mt + m-4 = 0}\) Wychodzi wtedy że m > 0 ... i OK. Co dalej ?

Jaki ten Viete powinien być ? Czy wystarczy, że założeniem będzie x1 + x2 < 6 ?
Co dalej z tą zmienną zrobić ? Skąd wyszło to 4 ?

\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}*x_{2}}\)

Czemu od 3 ? Przecież są 2 rozwiązania, więc ich suma musi być mniejsza od 6, bo każdy pierwiastek ma być mniejszy od 3. I myślę, że iloczyn nie wchodzi w grę, ponieważ jak będą dwa rozwiązania ujemne, to ich iloraz nie koniecznie będzie mniejszy od 3.

Proszę o konkretną pomoc z krótkim wyjaśnieniem

\(\displaystyle{ m \cdot log^{2}_{2}(x+1)-2m \cdot log_{2}(x+1)+m-4=0}\)
ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 3.

z def. log. \(\displaystyle{ ( x+1 ) > 0 \,\}\) --> \(\displaystyle{ x > -1 \,\}\)

podstawiamy: \(\displaystyle{ log_{2}(x+1)=k \,\}\) --> \(\displaystyle{ 2^{k} = x + 1 \/\}\) --> \(\displaystyle{ 2^{k} - 1 = x \,\}\).


Z warunku zadania: \(\displaystyle{ 2^{k} - 1 < 3 \,\}\) --> \(\displaystyle{ k < 2}\);

Z równania kwadratowego - dwa pierwiastki - delta > 0 mamy: \(\displaystyle{ m > 0}\)

Pierwszy pierwiastek : \(\displaystyle{ \frac{2m + 4 \sqrt{m}}{2m} < 2 \,\}\) --> ... --> \(\displaystyle{ m > 4}\)

Drugi - sprzeczne.

czy może mi ktoś to wytłumaczyć co zrobić w tym zadaniu zeby wyszło tak jak w odp. \(\displaystyle{ (4;+(4;+ \infty ) ) }\)?

Przecież (dokładnie nie czytałem) tak jest nad Twoim.