Równanie z parametrem - problem z założeniami

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: Daumier » 20 wrz 2007, o 17:38

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie:
\(\displaystyle{ m log^{2}_{2}(x+1)-2m log_{2}(x+1)+m-4=0}\)
ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 3.

Bardzo proszę o podpowiedź co do założeń. Jak powinny one wyglądać ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: florek177 » 20 wrz 2007, o 20:53

Z def. logarytmu : ( x + 1 ) > 0

Równanie kwadratowe - zastępcze - powinno mieć dwa pierwiastki dodatnie : delta >0 i wzory wiete`a.

Wychodzi, że m > 4. i jest to dobrze.
Ale nie wiem, czy nie jest to zbytnie uproszczenie i co by jeszcze sprawdzić.

Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: Daumier » 20 wrz 2007, o 21:35

Dlaczego dwa pierwiastki dodatnie ?

Rozumiem, że należy wstawić nową zmienną za logarytm ? Wstawiam i mam \(\displaystyle{ mt^{2} - 2mt + m-4 = 0}\) Wychodzi wtedy że m > 0 ... i OK. Co dalej ?

Jaki ten Viete powinien być ? Czy wystarczy, że założeniem będzie x1 + x2 < 6 ?
Co dalej z tą zmienną zrobić ? Skąd wyszło to 4 ?

Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: Vixy » 20 wrz 2007, o 22:15

\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}*x_{2}}\)

Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: Daumier » 20 wrz 2007, o 23:13

Czemu od 3 ? Przecież są 2 rozwiązania, więc ich suma musi być mniejsza od 6, bo każdy pierwiastek ma być mniejszy od 3. I myślę, że iloczyn nie wchodzi w grę, ponieważ jak będą dwa rozwiązania ujemne, to ich iloraz nie koniecznie będzie mniejszy od 3.

Proszę o konkretną pomoc z krótkim wyjaśnieniem

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: florek177 » 21 wrz 2007, o 19:07

\(\displaystyle{ m \cdot log^{2}_{2}(x+1)-2m \cdot log_{2}(x+1)+m-4=0}\)
ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 3.

z def. log. \(\displaystyle{ ( x+1 ) > 0 \,\}\) --> \(\displaystyle{ x > -1 \,\}\)

podstawiamy: \(\displaystyle{ log_{2}(x+1)=k \,\}\) --> \(\displaystyle{ 2^{k} = x + 1 \/\}\) --> \(\displaystyle{ 2^{k} - 1 = x \,\}\).


Z warunku zadania: \(\displaystyle{ 2^{k} - 1 < 3 \,\}\) --> \(\displaystyle{ k < 2}\);

Z równania kwadratowego - dwa pierwiastki - delta > 0 mamy: \(\displaystyle{ m > 0}\)

Pierwszy pierwiastek : \(\displaystyle{ \frac{2m + 4 \sqrt{m}}{2m} < 2 \,\}\) --> ... --> \(\displaystyle{ m > 4}\)

Drugi - sprzeczne.

tomekg55
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 1 mar 2011, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 1 raz

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: tomekg55 » 22 maja 2012, o 18:16

czy może mi ktoś to wytłumaczyć co zrobić w tym zadaniu zeby wyszło tak jak w odp. [latex](4;+(4;+ \infty ) ) [/latex]?
Ostatnio zmieniony 25 maja 2012, o 19:55 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23318
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3216 razy

Równanie z parametrem - problem z założeniami

Post autor: piasek101 » 22 maja 2012, o 18:22

Przecież (dokładnie nie czytałem) tak jest nad Twoim.

ODPOWIEDZ