Matematyka.pl

Oblicz :


\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ -2} (\frac{\cos{2x}-\cos{4x}}{14x+28})}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\frac{1-\cos{4x}}{\sin{3x}})}\)

1)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2} \left( \frac{\cos{2x}-\cos{4x}}{14x+28} \right) =
\lim_{x\to -2} \frac{\sin3x\cdot \sin x}{7(x+2)} =
\left[ \frac{\sin6\cdot \sin2}{0} \right] \\
\lim_{x\to -2^-} \frac{\sin3x\cdot \sin x}{7(x+2)} =\left[ \frac{-}{0^-} \right]=+\infty \\
\lim_{x\to -2^+} \frac{\sin3x\cdot \sin x}{7(x+2)} =\left[ \frac{-}{0^+} \right]=-\infty \\}\)

A wiec nie ma tam granicy.

2)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{1-\cos{4x}}{\sin{3x}} =\left[ \frac{0}{0} \right] \\
\lim_{x\to\ 0} (\frac{1-\cos{4x}}{\sin{3x}}) =H=
\lim_{x\to\ 0} (\frac{4\sin{4x}}{3\cos{3x}}) =\frac{0}{3}=0}\)



POZDRO

Oj, wszyscy od razu chcą hospitalizować... to powinna być ostateczność.
Drugie:
podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x}\), zamień \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ \cos 0}\), zastosuj wzór na różnicę cosinusów, i oczywiście skorzystaj ze znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{\alpha\to 0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1}\). Granica wychodzi \(\displaystyle{ 0}\)

Można też skorzystać z wzoru na cosinus podwojonego kąta:
\(\displaystyle{ \cos 4x = 1 - 2\sin^{2}2x}\)

a czy w tym 1 jest na pewno tak, bo w opd, mam napisane, ze granica ma być równa \(\displaystyle{ {1 \over 7} \sin{4}}\). bo do tego, co napisałeś tez doszłam, tylko mi się właśni nie zgadazało z odp