Całka z pierwiastkiem

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
legacy85
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 wrz 2007, o 14:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Całka z pierwiastkiem

Post autor: legacy85 » 18 wrz 2007, o 14:54

Witam,
chciałem prosić o pomoc w rozwiązaniu całek:
\(\displaystyle{ \int x \sqrt{x} \, }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{\tan x}}}\)

Dziękuję za naprowadzenie mnie na właściwą drogę do rozwiązania tych całek.

Poprawiłem zapis. Przejrzyj http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2007, o 15:07 przez legacy85, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka z pierwiastkiem

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 15:12

Pierwsza całka jest dość prosta, zauważ, że \(\displaystyle{ x \sqrt{x} = x^{3/2}}\) a do tego wystarczą podstawowe wzory

Druga natomiast jest nieco bardziej kłopotliwa.
Podstawmy \(\displaystyle{ t = \tan x}\) skąd \(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{\mbox{d}t}{1+t^2}}\)
Całka sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \int t^{-1/2} (1+t^2)^{-1} \, \mbox{d}t}\)
A jak to scałkować Przejrzyj http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=33970

legacy85
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 wrz 2007, o 14:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Całka z pierwiastkiem

Post autor: legacy85 » 18 wrz 2007, o 15:23

Właśnie tego szukałem, nie wiem dlaczego najprostszy pomysł nie wpadł mi do głowy...
Dzięki za rozjaśnienie mojego umysłu.

[ Dodano: 18 Września 2007, 16:49 ]
Mam do rozwiązania taką całke:
\(\displaystyle{ {\frac{1}{2}}\int}\)\(\displaystyle{ x^{\frac{3}{2}}}\) \(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ (x+4)^{\frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ dx}\)

zgodnie z tym : matematyka.pl/viewtopic.php?t=33970 (nie mogę wstawiać całych linków gdzyż jestem na forum tylko 1 dzień) próbowałem obliczyć tą całkę.
podstawiając dwukrotnie, najpierw: \(\displaystyle{ t =(x+4)^{\frac{1}{2}}}\) otrzymałem:

\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ t^{2}}\)\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ (t^{2}-4)^{\frac{3}{2}}\)\(\displaystyle{ dt}\)

dalej podstawiłem \(\displaystyle{ z =(t^{2}-4)^{\frac{3}{2}}}\) otrzymałem ostateczny wynik:

\(\displaystyle{ {\frac{1}{2}}}\)\(\displaystyle{ (x^{\frac{1}{2}} (x+4)^{\frac{1}{2}} - 2\ln |x^{\frac{1}{2}} + (x+4)^{\frac{1}{2}}|)}\)

zastanawiam się czy jest to dobry wynik, czy dobrze została zastosowana przeze mnie wiedza zdobyta tutaj: matematyka.pl/viewtopic.php?t=33970

ODPOWIEDZ