Matematyka.pl

i) /15

całka potrójna po V z \(\displaystyle{ x^2z dxdydz}\)
gdzie V jest stożkiem ograniczonym powierzchnią: \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0}\)
//poprawione
i płaszczyzną \(\displaystyle{ z=c>0}\)

Prosiłbym o rozpisanie przedziałów we współrzędnych zwykłych, biegunowych, walcowych i sferycznych jesli to mozliwe.

Czy to równanie powierzchni ograniczającej stożek, na pewno ma tak wyglądać

znów już poprawione równanie

No ale to nie jest stożek ??:
Podane przez Ciebie równanie jest prawdziwe tylko wtedy gdy (x,y,z)=(0,0,0).

Już teraz jest stożek

No, teraz jest OK

IMHO najlepiej będzie przyjąć następujące przekształcenie:
\(\displaystyle{ f=(x,y,z)\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3}\), gdzie
\(\displaystyle{ x(\rho, \theta, t) = a \rho \cos \theta\\
y(\rho, \theta, t) = b \rho \sin \theta\\
z(\rho, \theta, t) = ct}\)
obliczamy jakobian przekształcenia:
\(\displaystyle{ J_f = \frac{D(x,y,z)}{D(\rho, \theta, t)} = \ldots = abc \rho}\)
Zakres zmian zmiennych, wynosi w tym przypadku (o ilę się nie mylę)
\(\displaystyle{ 0 \leq \rho \leq 1\\
0 \leq t \leq 1\\
0 \leq \theta \leq 2 \pi}\)
Następnie podstawiasz te dane do całki i gotowe.

a tak bardzie jklasycznie - jesli chodzi o wpolrzedne.
bo nie wiem jak mialbym wymyslec te przekształcenia dla x,y i z

No jeśli "klasycznie" to raczej nie uprościsz rachunków
Chodzi o to by pozbyć się tych \(\displaystyle{ a^2, b^2 \ i \ c^2}\), a to chyba nie jest aż takie trudne do wykombinowania?

ok. A mógłbyś zerknąć jeszcze na to https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42040&sid=4fc4a5d6498496c1d3dfc8004c1b79df
?